博弈论中的极小极大算法组合5(“杂技演员哈希”)

在博弈论中，我们经常使用极小极大算法来解决两个人对弈的问题。其中，“杂技演员哈希”这个问题是一个经典的案例。

问题描述

“杂技演员哈希”是一个两人博弈问题。问题描述如下：

有一个杂技演员哈希，他要在一个棋盘上表演杂技。棋盘共有 M × N 个格子，每个格子上都有一个高度。演员哈希从左上角开始，每次只能向下或向右走一步。当他经过一个格子时，他会将该格子的高度加到自己的能量值中。此外，他还可以选择执行两次跳跃，每次跳跃距离为两个相邻的格子，跳跃时可以任意方向跳，但不能跨越障碍物。例如，如果要从第 i 行的 a 列跳到第 i+2 行的 b 列，则要求满足 a 和 b 的差的绝对值为 2。值得注意的是，如果哈希的能量值小于要跳跃的两个格子的高度之和，那么这次跳跃就无法执行。如果哈希到达了棋盘的右下角，则他表演成功，否则他表演失败。现在两个人要对峙，由先手和后手轮流行动，先手为演员哈希。两人都会使用最优策略来行动，即都会使自己获得的能量值最大。

解题思路

此问题需要使用极小极大算法来解决。我们可以从终点（右下角）开始，使用递归的方法来计算出每个格子中，最优的能量值。

我们用 state[i][j] 来表示从第 i 行 j 列到达终点所能获得的最大能量值。同时，我们将 state[i][j] 限制在两个值之间，即 start_sum - end_sum <= state[i][j] <= start_sum + end_sum，其中，start_sum 表示从起点（左上角）到当前位置所能获得的总能量值， end_sum 表示从终点到当前位置所需获得的总能量值。

对于每个格子，我们可以将其分为两个子问题来解决，即向下走和向右走。因为每次只能向下或向右移动，所以我们将格子分为两个半区域，分别计算其最大能量值。

针对每个子问题，我们需要计算出演员哈希所有可能的移动方案，包括向下或向右走一步，或者执行两次跳跃（需要判断能量是否足够）。我们将每种方案的能量值计算出来，然后取其中最大的能量值作为当前格子的 state 值。最后，我们将两个子问题的最大 state 值相加，即可得到当前格子的最大 state 值。

代码实现

def max_energy(M, N, board):
    # 计算从终点到每个格子所需获得的能量值
    end_sum = [[0] * N for i in range(M)]
    for i in range(M-2, -1, -1):
        end_sum[i][N-1] = end_sum[i+1][N-1] + board[i+1][N-1]
    for j in range(N-2, -1, -1):
        end_sum[M-1][j] = end_sum[M-1][j+1] + board[M-1][j+1]
    for i in range(M-2, -1, -1):
        for j in range(N-2, -1, -1):
            end_sum[i][j] = max(end_sum[i+1][j], end_sum[i][j+1]) + board[i+1][j+1]

    # 递归计算每个格子的最大能量值
    memo = [[0] * N for i in range(M)]
    def dfs(i, j):
        if memo[i][j] != 0:
            return memo[i][j]

        start_sum = 0
        if i > 0:
            start_sum += dfs(i-1, j)
        if j > 0:
            start_sum += dfs(i, j-1)

        ans = start_sum + board[i][j]
        if i < M-1:
            ans = max(ans, start_sum + dfs(i+1, j) - end_sum[i+1][j])
        if j < N-1:
            ans = max(ans, start_sum + dfs(i, j+1) - end_sum[i][j+1])
        if i < M-2 and j > 0 and board[i+2][j-1] + board[i+1][j] <= start_sum + end_sum[i+2][j-1]:
            ans = max(ans, start_sum + dfs(i+2, j-1) - end_sum[i+2][j-1])
        if j < N-2 and i > 0 and board[i][j+2] + board[i+1][j+1] <= start_sum + end_sum[i][j+2]:
            ans = max(ans, start_sum + dfs(i, j+2) - end_sum[i][j+2])

        memo[i][j] = ans
        return ans

    return dfs(0, 0)

以上就是“杂技演员哈希”问题的解题思路和Python代码实现。