在相同高度的节点之间允许以k个跳跃遍历树

在树数据结构中，经常需要在相同高度的节点之间进行遍历。如果树的高度非常大，直接进行遍历的复杂度可能会很高。为了解决这个问题，可以利用树上的跳表（Skiplist）来实现在相同高度的节点之间以k个跳跃的方式进行遍历。

跳表的基本原理

跳表是一种基于有序链表的数据结构，可以在 O(log n) 的时间复杂度内实现基本的查找、插入和删除操作。它的基本思想是在链表上添加一些指向随机位置的指针，从而实现跨越较大区域的快速查找。

上图是一个跳表的示例。在跳表中，每个节点都有多个指针，其中 level 0 上的指针指向下一个节点，level 1 上的指针指向下一个具有更高 level 的节点，以此类推。根据每个节点的 rand() 函数生成的随机数来确定每个节点的 level。

跳表的查找操作非常简单，只需要从最高 level 的起点开始，沿着每个 level 上的指针向右查找，直到找到目标节点或者遇到一个比目标节点大的节点。在查找的过程中，如果找到比目标节点小的节点，就从该节点的 level 0 上的指针开始，继续向右查找。这样，就可以实现 O(log n) 的时间复杂度内的查找操作。

在树上使用跳表

在树上使用跳表，可以将每棵子树上的节点按照它们的高度分别放入不同的跳表中。这样，就可以实现在相同高度的节点之间以k个跳跃的方式进行遍历。

具体来说，对于每个节点，需要维护一个指向子树中高度相等的节点的跳表。在遍历树的过程中，给定当前节点和目标节点的高度，首先跳到当前节点对应的跳表中的目标高度的位置。然后，在跳表中向右遍历k个节点，即可得到目标高度下的k个后继节点。接下来，将这些k个后继节点添加到遍历的候选集合中。最后，对于候选集合中的每个节点，递归调用遍历函数，直到遍历到目标节点。

在实现中，可以使用一个数组来保存子树中高度相等的节点的跳表，数组下标即为高度。跳表的实现可以使用链表加上类似于链表中的“跳跃指针”来完成。此外，在插入和删除节点时，也需要更新每个节点对应的跳表中的节点信息。

示例代码

以下是一个使用跳表在树上以k个跳跃的方式遍历节点的示例代码（Python 实现）：

class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

class Tree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def build_tree(self, vals):
        nodes = [Node(val) for val in vals]
        n = len(nodes)
        for i in range(n):
            if 2*i+1 < n:
                nodes[i].left = nodes[2*i+1]
            if 2*i+2 < n:
                nodes[i].right = nodes[2*i+2]
        self.root = nodes[0]

    def get_nodes_at_height(self, height):
        if height == 0:
            return [self.root]
        nodes = []
        queue = [(self.root, 0)]
        while queue:
            curr, curr_height = queue.pop(0)
            if curr_height == height:
                nodes.append(curr)
            if curr.left:
                queue.append((curr.left, curr_height+1))
            if curr.right:
                queue.append((curr.right, curr_height+1))
        return nodes

class SkipList:
    class SkipListNode:
        def __init__(self, val):
            self.val = val
            self.next = None
            self.jump = None

    def __init__(self):
        self.head = self.SkipListNode(float('-inf'))
        self.tail = self.SkipListNode(float('inf'))
        self.head.next = self.tail
        self.tail.jump = self.head

    def find_node(self, val):
        curr = self.head
        while curr:
            if curr.next.val >= val:
                break
            curr = curr.next
        return curr

    def insert_node(self, node):
        curr = self.head
        nodes = []
        while curr:
            if curr.next.val > node.val:
                nodes.append(curr)
            curr = curr.jump
        node.next = nodes[-1].next
        nodes[-1].next = node
        for i in range(len(nodes)-1):
            node.jump = nodes[i].next.jump
            nodes[i].next.jump = node

    def delete_node(self, node):
        curr = self.head
        nodes = []
        while curr:
            if curr.next == node:
                nodes.append(curr)
            curr = curr.jump
        for i in range(len(nodes)):
            nodes[i].next.jump = node.jump
            nodes[i].next = nodes[i].next.next

def traverse_tree_k_jumps(tree, start, end, k):
    nodes = []
    for i in range(k+1):
        nodes.extend(tree.get_nodes_at_height(start+i))
    skip_lists = [SkipList() for _ in range(k+1)]
    for node in nodes:
        skip_lists[node.val-start].insert_node(skip_lists[node.val-start].SkipListNode(node))
    candidates = skip_lists[0].get_nodes_at_height(end-start)
    for i in range(1, k+1):
        candidates = [
            node.jump.val for node in skip_lists[i-1].find_node(candidate.val)
        ]
        temp = []
        for node in candidates:
            temp.extend(skip_lists[i].get_nodes_at_height(node-start+i))
        candidates = temp
    res = []
    for node in candidates:
        if node.val == end:
            res.append(node)
        else:
            res += traverse_tree_k_jumps(tree, node.val, end, k)
    return res

# 示例代码
tree = Tree()
tree.build_tree([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
res = traverse_tree_k_jumps(tree, 0, 3, 2)
for node in res:
    print(node.val)

以上代码中，Node 类表示树中的节点，Tree 类表示一颗树，SkipList 类表示一棵跳表。

traverse_tree_k_jumps 函数可以实现在相同高度的节点之间以 k 个跳之间的方式进行遍历。其中，start 表示起始节点的高度，end 表示目标节点的高度，k 表示允许的跳跃次数。函数返回的是起点为 start 、终点为 end 的所有路径上的所有节点。

总结

在树数据结构的遍历中，允许以k个跳的方式在相同高度的节点之间遍历，可以大大减少遍历的时间复杂度。跳表是一种基于有序链表的数据结构，可以在 O(log n) 的时间复杂度内实现基本的查找、插入和删除操作。通过在树上使用跳表，可以实现在相同高度的节点之间以k个跳跃的方式进行遍历。在实现中，需要为每个节点维护一个跳表，同时需要更新节点信息和实现跳表的基本操作。

以上是一个在相同高度的节点之间允许以k个跳跃遍历树的介绍，希望对程序员有所帮助。