在相同高度的节点之间允许以 k 个跳跃遍历树

在一棵树中，有时候需要在相同高度的节点之间进行遍历。如果只能进行一步一步的遍历，效率会很低下。因此，我们需要一种方法来允许在相同高度的节点之间进行 k 个跳跃的遍历。在这篇文章中，我们将会讨论如何实现这个问题。

问题描述

假设我们有一棵有根树 T，其中有 n 个节点，并且每个节点有一个权值 w。现在，我们想要在 T 中，找到两个深度相同的节点 v 和 u，使得它们的距离不超过 k。

解决方法

为了解决这个问题，我们可以使用 LCA(最近公共祖先) 算法。如果我们能够找到两个节点 v 和 u 的 LCA，并且它们的距离不超过 k，那么我们就可以找到一条路径，连接起 v 和 u。

首先，我们可以使用 DFS(深度优先搜索) 进行遍历，记录下每个节点的深度和祖先节点，以及它们的权值。接下来，我们可以使用 RMQ(区间最小值查询) 技术来预处理出两个节点之间的距离。

为了实现 RMQ 算法，我们可以使用 ST(线段树) 或者 LCA(Lowest Common Ancestor，最近公共祖先)算法。在这里，我们将介绍 LCA 算法的实现方法。

LCA 算法

LCA 算法用于在树中找到两个给定节点的最近公共祖先。我们可以使用 DFS 和 RMQ 来实现 LCA 算法。

我们首先需要计算出每个节点的深度。对于节点 u，其深度为从根节点到 u 的路径长度。我们可以使用 DFS 遍历树来计算每个节点的深度。

然后，我们需要使用 ST 算法来预处理节点之间的距离。设 dist(u, v) 表示从节点 u 到节点 v 的距离。我们可以使用 DFS 遍历树来计算 dist(u, v)。接下来，我们需要使用 ST 算法来预处理 dist(u, v)。

为了计算 LCA，我们可以使用 RMQ 技术。设节点 u 和节点 v 的深度较大。我们可以将节点 u 的祖先节点 u1，u2，...，uk（按深度递减顺序排列）加入到一个集合 S 中。然后，我们可以从 v 开始向上寻找第一个节点 ui，使得 ui 属于 S。这个节点就是 LCA。

代码实现

以下的示例代码使用 Python 实现：

from typing import List

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class LCA:
    def __init__(self, root: TreeNode):
        self.depth = [-1] * (2 * len(root))
        self.first_occurrence = [-1] * (len(root))
        self.eulerian_tour = []

        self._dfs(root, 0)
        self._st_algorithm()

    def _dfs(self, node, depth):
        self.depth[node.val] = depth
        self.first_occurrence[node.val] = len(self.eulerian_tour)
        self.eulerian_tour.append(node.val)

        if node.left:
            self._dfs(node.left, depth + 1)
            self.eulerian_tour.append(node.val)

        if node.right:
            self._dfs(node.right, depth + 1)
            self.eulerian_tour.append(node.val)

    def _st_algorithm(self):
        n = len(self.eulerian_tour)
        logn = (n - 1).bit_length()
        rmq = [[-1] * n for _ in range(logn)]

        for i, x in enumerate(self.eulerian_tour):
            rmq[0][i] = x

        for j in range(1, logn):
            for i in range(n - (1 << j) + 1):
                k = i + (1 << (j - 1))
                a, b = rmq[j - 1][i], rmq[j - 1][k]
                rmq[j][i] = a if self.depth[a] < self.depth[b] else b

        self.rmq = rmq

    def query(self, u: int, v: int) -> int:
        i, j = self.first_occurrence[u], self.first_occurrence[v]
        if i > j:
            i, j = j, i

        width = j - i + 1
        k = (width - 1).bit_length()
        i1, i2 = self.rmq[k][i], self.rmq[k][j - (1 << k) + 1]
        return i1 if self.depth[i1] < self.depth[i2] else i2

总结

在本文中，我们介绍了如何在相同高度的节点之间允许 k 个跳跃遍历树。我们使用 LCA 算法来解决这个问题，并使用 RMQ 技术来预处理节点之间的距离。如果您对这个问题有任何疑问，欢迎在评论区留言！