门| GATE-CS-2017（套装1）|问题 14

这道问题涉及到有向无权图和拓扑排序的知识。下面是一个详细的介绍：

题目描述

给定一个有向无权图，其中节点编号为 1 到 N。这个图可能不连通，而且有可能存在环。对于每一个节点，输出它的可达节点（可以到达它的节点）的数量。

解法

我们可以通过拓扑排序的方法来解决这个问题。所谓拓扑排序，就是将有向无环图（DAG）中的节点按照一定的顺序排序。具体来说，我们可以按照以下的方式进行拓扑排序：

1. 找到所有入度为 0 的节点。
2. 选择任意一个入度为 0 的节点，将其添加到拓扑排序结果中。
3. 将所有从该节点出发的边删去，同时将它们指向的节点的入度减一。
4. 重复步骤 1 和步骤 2，直到所有节点都被添加到拓扑排序结果中。

如果有环，则无法完成拓扑排序。

通过拓扑排序，我们可以找到所有可达节点的数量。具体来说，对于每一个节点，我们可以记录其入度为 0 的后继节点的数量，然后用这个数量去更新其所有后继节点的可达节点数量。最终，我们就可以得到所有节点的可达节点数量。

下面是具体的实现：

from collections import defaultdict, deque

def reachable_nodes(n, edges):
    indegrees = defaultdict(int)
    successors = defaultdict(list)
    for x, y in edges:
        indegrees[y] += 1
        successors[x].append(y)

    # Step 1: Find all nodes with indegree 0
    queue = deque([i for i in range(1, n + 1) if indegrees[i] == 0])

    # Step 2-4: Topological sort
    while queue:
        node = queue.popleft()
        for successor in successors[node]:
            indegrees[successor] -= 1
            if indegrees[successor] == 0:
                queue.append(successor)

    # Count reachable nodes
    reachable = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for successor in successors[i]:
            reachable[successor] += reachable[i] + 1

    return reachable[1:]

总结

这道问题给了我们一个机会来学习拓扑排序的知识。同时，这也是一道比较有扩展性的问题，我们可以根据这个问题进行一些变种，例如求有多少个节点可以到达某一个节点，等等。