给定数组中XOR为零的四对子

在给定的数组中，找到所有的四对子（i, j, k, l），使得 arr[i]^arr[j]^arr[k]^arr[l] = 0，其中 i < j < k < l。

思路

本题是一道经典的数组问题，可以通过哈希表或位运算来解决。

1. 哈希表

遍历数组，将每个元素作为 key，出现次数作为 value 存入哈希表中。再遍历哈希表，对于 value 大于等于 4 的元素，即可得到用该元素构成四对子的方案。遍历哈希表的时间复杂度为 O(N)，插入哈希表的时间复杂度为 O(N)，因此总时间复杂度为 O(N)。

2. 位运算

对于任意数字 a，有 a^a = 0。因此，对于四对子（i, j, k, l），有

arr[i] ^ arr[j] ^ arr[k] ^ arr[l] = (arr[i] ^ arr[j]) ^ (arr[k] ^ arr[l]) = 0

即，arr[i] ^ arr[j] = arr[k] ^ arr[l]。因此，我们可以枚举 arr[i] 和 arr[k]，计算它们的异或值 x = arr[i] ^ arr[k]，再遍历数组找到所有等于 x 的元素。这些元素必须与 arr[i] 和 arr[k] 分别组成一对，否则就不能构成四对子。我们可以用哈希表记录每个异或值 x 出现的位置，遍历数组时，对于任意一个元素 arr[j]，我们只需要在哈希表中 O(1) 查找是否存在另一半 x-arr[j]，如果存在即可组成一对。遍历数组的时间复杂度为 O(N)，遍历哈希表的时间复杂度为 O(N)，因此总时间复杂度为 O(N)。

代码示例

哈希表

def find_xors(arr):
    freqs = {}
    for num in arr:
        freqs[num] = freqs.get(num, 0) + 1
    ans = []
    for num, freq in freqs.items():
        if freq >= 4:
            ans.append([num] * 4)
    return ans

位运算

def find_xors(arr):
    x2idx = {}
    for i in range(len(arr)):
        for k in range(i+1, len(arr)):
            x = arr[i] ^ arr[k]
            if x not in x2idx:
                x2idx[x] = []
            x2idx[x].append((i, k))
    ans = []
    for j in range(len(arr)):
        for i, k in x2idx.get(arr[j], []):
            if i < j < k:
                ans.append([arr[i], arr[j], arr[k], arr[j]^arr[k]])
    return ans