求N模M的因数

有时候我们需要求一个数N模M的因数，其中M是任何质数。因为N很大，直接求因数是不现实的，那么我们该怎么做呢？

费马小定理

首先我们可以利用费马小定理来求模M意义下的逆元，也就是求x，使得x乘以N模M的结果等于1。假设N和M互质，那么根据费马小定理：

$$N^{M-1} \equiv 1 \pmod{M}$$

两边同时乘以N的逆元N':

$$N' N^{M-1} \equiv N' \pmod{M}$$

因为N'是N模M的逆元，所以左边等于1：

$$1 \equiv N' \pmod{M}$$

也就是说，N的逆元就是N^(M-2)模M。注意，如果N和M不互质的话，那么N没有逆元，也就是说，N模M的因数不存在。

例子

比如说现在我们需要求999999000001模1000000007的因数，也就是说，我们需要找到一个非常大的因数d，满足：

$$999999000001 \equiv 0 \pmod{d}$$ $$d < 1000000007$$

首先，根据费马小定理，我们可以求出

$$999999000001^{1000000005} \equiv 1 \pmod{1000000007}$$

也就是说，$999999000001^{-1} \equiv 999999000001^{1000000005} \pmod{1000000007}$。把1000000005转化成二进制，得到：

$$1000000005 = 2^{0} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{6} + 2^{9} + 2^{12} + 2^{22}$$

所以

$$999999000001^{1000000005} \equiv 999999000001^{2^{0}} \times 999999000001^{2^{2}} \times 999999000001^{2^{3}} \times 999999000001^{2^{6}} \times 999999000001^{2^{9}} \times 999999000001^{2^{12}} \times 999999000001^{2^{22}} \pmod{1000000007}$$

我们可以用快速幂来计算每个项，得到：

$$999999000001^{1000000005} \equiv 225876549 \pmod{1000000007}$$

因此，$999999000001^{-1} \equiv 225876549 \pmod{1000000007}$。现在我们可以用这个逆元来求因数了。

首先，我们可以将999999000001分解质因数，得到：

$$999999000001 = 11 \times 9090909091$$

因为11和9090909091都是质数，所以因数只可能是1、11、9090909091、999999000001。

计算$999999000001^{-1} \pmod{11}$，得到3，因此$999999000001 \equiv 0 \pmod{11}$。

计算$999999000001^{-1} \pmod{9090909091}$，得到6945088641，因此$999999000001 \equiv 0 \pmod{9090909091}$。

因此，我们找到了所有的因数，分别是1、11、9090909091、999999000001。