要插入 Array 以使用子集总和形成 [1, K] 中的所有值的最小元素数

给定一个整数数组 nums，你需要向其中添加一些元素，使得它能够形成所有可能的子集和，其中子集和的范围在 [1, K] 之间，且添加的元素数最少。

思路

这道题可以使用动态规划来解决。我们定义 $dp[i][j]$ 表示能否用数组的前 $i$ 个元素中的一些数构成和为 $j$ 的子集。因为题目中的要求是所有可能的子集和必须在 [1, K] 范围内，所以我们可以用前缀和的方式来进行优化，即 $d[i][j]$ 表示能否用数组中的一些元素构成和为 $j$ 的子集，并且这个子集的最大值不超过 $i$。

具体地，我们先对数组进行升序排序，然后用前缀和来计算 $d[i][j]$，即：

$$ d[i][j] = d[i-1][j] \mathrel{|} d[i-1][j-nums[i]] $$

其中 $x \mathrel{|} y$ 表示逻辑或运算。也就是说，如果前 $i-1$ 个元素中能够构成和为 $j$ 的子集，或者前 $i-1$ 个元素中能够构成和为 $j - nums[i]$ 且最大值不超过 $i-1$ 的子集，那么前 $i$ 个元素中就一定能够构成和为 $j$ 的子集（如果 $nums[i]$ 大于 $j$，则 $d[i][j]$ 的值直接继承自 $d[i-1][j]$）。

最后，我们只需要找到最小的 $i$，使得 $d[i][j]$ 中的所有 $j$ 均能够构成 [1, K] 中的所有数，那么该 $i$ 就是我们要找的答案。

代码

下面是基于 Python3 语言的实现代码：

def min_subset_size(nums, k):
    if not nums:
        return 0
    
    nums.sort()
    n = len(nums)
    total = sum(nums)
    
    dp = [[False] * (total+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = True
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(nums[i-1], total+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i-1]]
                        
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if not dp[i][j]:
                continue
                
            for s in range(j+1, k+1):
                if dp[i][s]:
                    break
            else:
                return i
            
    return n

其中 nums 表示输入的数组，k 表示待求的范围，返回值表示要插入的最小元素数。