到达棋盘末端的预期移动次数 | 动态规划

动态规划是一种常用的优化问题的方法，在计算机领域广泛应用。在棋盘游戏中，我们常常需要计算到达棋盘末端的预期移动次数。本文将介绍如何使用动态规划方法来解决这个问题。

问题描述

假设有一个 $N \times N$ 的棋盘，每个格子上都标有一个数字。从左上角的格子开始，每次可以向右或向下移动一步，直到到达右下角的格子。每次移动后，会获得当前格子上的数字。用路径上所有数字的平均值来衡量这条路径的好坏。假设需要找到一条优秀的路径，使得其平均值最大。

动态规划解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义 $E(i,j)$ 表示从 $(i,j)$ 出发到达右下角的期望移动次数。显然，当 $i=N$ 或 $j=N$ 时，$E(i,j)=0$，因为已经到达了终点。

对于其他情况，我们可以分别计算从 $(i,j)$ 向右和向下两个方向移动的期望移动次数，然后取平均值即可。具体地，我们有：

$$E(i,j)=\frac{E(i+1,j)\times p_{i+1,j} + E(i,j+1) \times p_{i,j+1} + 1}{p_{i+1,j} + p_{i,j+1}+1}$$

其中，$p_{i,j}$ 表示从 $(i,j)$ 向下或向右移动的概率，即：

$$p_{i,j} = \frac{value_{i,j}}{\sum_{k=i}^N \sum_{l=j}^N value_{k,l}}$$

这里的 $value_{i,j}$ 表示棋盘上 $(i,j)$ 位置的数字。

最终，$E(1,1)$ 就是从起点出发到达终点的期望移动次数，也就是这条路径的平均值。

代码实现

下面是使用 Python 实现上述算法的代码：

def expected_moves(grid):
    n = len(grid)
    p = [[0] * n for _ in range(n)]
    e = [[0] * n for _ in range(n)]

    # Initialize the probability and expected moves matrices
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(n-1, -1, -1):
            if i == n-1 and j == n-1:
                p[i][j] = 1
                e[i][j] = 0
            else:
                p[i][j] = grid[i][j] / sum(sum(grid[k][l] for l in range(j, n)) for k in range(i, n))
                e[i][j] = (e[i+1][j] * p[i+1][j] + e[i][j+1] * p[i][j+1] + 1) / (p[i+1][j] + p[i][j+1] + 1)

    return e[0][0]

在上述算法中，我们首先初始化了概率和期望移动次数的矩阵。接着，我们使用逆序遍历的方式，从右下角开始计算每个位置的期望移动次数和对应的概率。最后，返回 $E(1,1)$ 即可。