连接时可被 K 整除的数组元素对的计数

介绍

本题目要求给定一个整数数组，计算其中有多少对元素之和可以被K整除。

例如，给定数组 [4, 5, 0, -2, -3, 1] 和 K=5，我们可以找到两对元素之和可以被5整除：

1. (5, 0)：下标1和2
2. (-2, 2)：下标3和4

因此，输出结果为2。

实现该功能的最直观的算法是暴力枚举所有可能的数组元素对，计算它们之和是否能被K整除。然而这种方法需要O(N^2)时间复杂度，即对于每个元素需要遍历数组中其它元素。

对于大规模的数据集，这种暴力算法显然是不可行的。因此我们需要采用一些优化方法，将时间复杂度优化到O(N)。

代码实现

一个优秀的解决方案是使用哈希表。具体过程如下：

1. 首先，我们定义一个哈希表，用于存储前缀和模K的余数及其出现次数之间的映射。

2. 接着，我们遍历整个数组，并计算它们的前缀和，同时对K取余，这样我们就可以得到一个能够描述前缀和余数的数字。

3. 对于每个前缀和余数，我们检查哈希表中是否有相应的值。如果存在，说明此前已经有一些含有该余数的元素了，它们和当前元素的个数之和可以被K整除。我们将该余数的计数加入结果中。

4. 如果哈希表中不存在相应的值，则说明此前没有含有该余数的元素，我们需要创建一个新的映射。

下面是Python实现代码：

def subarraysDivByK(A: List[int], K: int) -> int:
    count = 0
    prefix_sum = 0
    prefix_sum_count = {0: 1}
    for num in A:
        prefix_sum = (prefix_sum + num) % K
        if prefix_sum in prefix_sum_count:
            count += prefix_sum_count[prefix_sum]
        prefix_sum_count[prefix_sum] = prefix_sum_count.get(prefix_sum, 0) + 1
    return count

性能分析

上述算法的时间复杂度为O(N)，其中N是数组中的元素个数。这是因为我们只需要遍历一次数组，而每次获取和插入哈希表的操作都是常量级别的，所以总时间复杂度为线性的。

由于我们使用哈希表存储前缀和余数出现的次数，空间复杂度也是O(N)，即哈希表的大小随着数组规模的增大而增加。

结论

哈希表是解决该问题的最佳选择之一，它充分利用了哈希表快速查找的特性，能够将计算时间复杂度优化到了线性级别。我们需要注意算法实现中的细节，保证它在所有测试用例中都能正确地运行。