使用细分树查询给定索引范围内大于K的元素

在某些场景下，我们需要查询给定索引范围内大于指定值K的元素数量或者具体的元素值。这时可以使用细分树（或称为多版本平衡树），它在支持平衡树的查询、插入、删除等操作的基础上，还支持历史版本的查找操作。

基本概念

细分树是一种具有版本管理功能的平衡树，它使用了类似于线段树的结构来对历史版本进行管理。它的基本思想是将每个元素在不同版本中的出现情况分别存储于不同的节点上，每个节点维护一个子树，代表该版本中元素的出现情况。

查询操作

查询操作分为两种情况：

1. 查询指定版本中大于K的元素数量；
2. 查询指定版本中大于K的元素值。

第一种情况

对于第一种情况，我们可以使用细分树的基本查询操作count(k)，其返回值为小于等于k的元素个数。因此，我们可以使用count(K-1)计算出小于等于K-1的元素个数，然后用总的元素个数减去它即可得到大于K的元素个数。

int queryCount(int l, int r, int version, int K) {
    return queryCount(l, r, K, version) - queryCount(l, r, K-1, version);
}

其中，queryCount(l, r, k, v)表示查询在版本v中[l,r]区间内小于等于k的元素个数。这里需要注意的是，对于每个区间的子树，我们需要保存小于等于k的元素个数。

第二种情况

对于第二种情况，我们可以使用细分树的非常规查询操作，方法和第一种情况类似。先查询出小于等于K-1的元素个数，然后将区间[l,r]中第count(K-1)+1个元素（即第一个大于K-1的元素）作为查询结果。

int queryValue(int l, int r, int version, int K) {
    int count = queryCount(l, r, K-1, version);
    if(count == r-l+1) return -1; // 所有元素均小于等于K-1
    return queryKth(l, r, count+1, version); // 第count+1大的元素即为第一个大于K-1的元素
}

其中，queryKth(l, r, k, v)表示查询在版本v中[l,r]区间内第k大的元素，该操作可以在细分树中通过查询维护的前缀和数组和后缀和数组实现。

代码实现

以下是使用C++实现查询大于K的元素数量的代码（假设使用线段树作为细分树的基础结构）

#define MAXN 100010

vector<int> st[MAXN << 2];

void insert(int o, int l, int r, int p, int v) {
    st[o].push_back(v);
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(p <= mid) insert(o<<1, l, mid, p, v);
    else insert(o<<1|1, mid+1, r, p, v);
}

int queryCount(int o, int l, int r, int ql, int qr, int k, int version) {
    if(r < ql || l > qr) return 0;
    if(ql <= l && r <= qr) return upper_bound(st[o].begin(), st[o].end(), k) - st[o].begin();
    int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
    res += queryCount(o<<1, l, mid, ql, qr, k, version);
    res += queryCount(o<<1|1, mid+1, r, ql, qr, k, version);
    return res;
}

int queryCount(int l, int r, int k, int version) {
    return queryCount(1, 1, n, l, r, k, version);
}

以上代码中，我们使用了线段树来实现细分树的基本结构。节点st[o]保存了该节点代表的版本中的元素。查询操作使用了分治的思想，首先在区间[l,r]所覆盖的节点中查询，如果该节点区间[l,r]与查询范围[ql,qr]有交，那么对该节点继续递归查询其子节点。对于细分树的其他操作，可以类似地实现。