使用分而治之算法的最大子数组和

分而治之算法（Divide and Conquer Algorithm）是一种递归的算法，其基本思想是将一个大问题划分成若干个小问题，分别解决这些小问题，最终合并得到大问题的解。

最大子数组和问题即为一种可以使用分而治之算法解决的问题。给定一个整数数组，求其中连续子数组的最大和。

算法思路

分而治之算法将问题分解为三个子问题：从数组的左边找到最大子数组；从数组的右边找到最大子数组；跨越中点的最大子数组。

对于前两个子问题，可以使用递归算法求解。对于第三个子问题，可以使用线性时间求解。将这三个子问题的解合并起来，即可得到整个问题的解。

具体实现细节可参考下面的Python代码。

代码实现

def find_max_crossing_subarray(A, low, mid, high):
    left_sum = float('-inf')
    sum_ = 0
    max_left = mid
    for i in range(mid, low - 1, -1):
        sum_ += A[i]
        if sum_ > left_sum:
            left_sum = sum_
            max_left = i

    right_sum = float('-inf')
    sum_ = 0
    max_right = mid
    for j in range(mid + 1, high + 1):
        sum_ += A[j]
        if sum_ > right_sum:
            right_sum = sum_
            max_right = j

    return (max_left, max_right, left_sum + right_sum)

def find_max_subarray(A, low, high):
    if low == high:
        return (low, high, A[low])
    else:
        mid = (low + high) // 2
        left_low, left_high, left_sum = find_max_subarray(A, low, mid)
        right_low, right_high, right_sum = find_max_subarray(A, mid + 1, high)
        cross_low, cross_high, cross_sum = find_max_crossing_subarray(A, low, mid, high)

        if left_sum >= right_sum and left_sum >= cross_sum:
            return (left_low, left_high, left_sum)
        elif right_sum >= left_sum and right_sum >= cross_sum:
            return (right_low, right_high, right_sum)
        else:
            return (cross_low, cross_high, cross_sum)

def max_subarray(A):
    return find_max_subarray(A, 0, len(A) - 1)

算法复杂度

该算法的时间复杂度是O(nlogn)，其中n为数组的长度。该算法的空间复杂度是O(1)，即不占用额外的空间。

参考资料

• Introduction to Algorithms, Third Edition by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.