使用分而治之算法的最接近点对

简介

在计算几何学中，最接近点问题是指在给定的n个点中，找出最近的一对点p和q。最近点对问题的解决方法有很多，其中一种比较有效的方法是分而治之算法。

分而治之算法的思想是将原问题划分成多个子问题，分别求解后再将结果合并得到最终的解决方案。最接近点对问题可以通过分而治之算法来解决。其基本思路是将n个点按照X坐标从小到大排序，然后将点集分为左右两部分，再依次递归处理左右两部分，直到分治到最小问题规模，即仅有2个或3个点，然后再通过暴力枚举找到跨越左右两部分的最近点对。

算法流程

1. 将点按照X坐标从小到大排序；
2. 将点集分为左右两部分，分别递归处理左右两部分，得到左右两部分的最近点对和最短距离；
3. 取得左右两部分的最短距离；
4. 计算跨越左右两部分的最近点对；
5. 返回最近点对和最短距离。

代码实现

def closest_pair(points):
    def dist(p1, p2):
        return ((p1[0] - p2[0]) ** 2 + (p1[1] - p2[1]) ** 2) ** 0.5

    def merge(left, right, dist_lr, delta):
        mid_x = (left[-1][0] + right[0][0]) / 2
        lr = [p for p in left + right if abs(p[0] - mid_x) <= delta]

        if len(lr) < 2:
            return dist_lr, []
        lr.sort(key=lambda x: x[1])

        delta_min = dist_lr
        pair = []
        for i in range(len(lr)):
            for j in range(i + 1, len(lr)):
                if lr[j][1] - lr[i][1] > delta_min:
                    break
                d = dist(lr[i], lr[j])
                if d < delta_min:
                    delta_min = d
                    pair = [lr[i], lr[j]]

        return delta_min, pair

    def _closest_pair(px, py):
        n = len(px)
        if n <= 3:
            pairs = [[px[i], px[j]] for i in range(n) for j in range(i + 1, n)]
            return min([(dist(p1, p2), [p1, p2]) for p1, p2 in pairs])

        mid = n // 2
        left_px, right_px = px[:mid], px[mid:]
        left_p, right_p = [], []
        for p in py:
            if p in left_px:
                left_p.append(p)
            else:
                right_p.append(p)

        dist_l, pair_l = _closest_pair(left_px, left_p)
        dist_r, pair_r = _closest_pair(right_px, right_p)

        delta = min(dist_l, dist_r)
        dist_lr, pair_lr = merge(left_p, right_p, delta, delta)
        if dist_lr < delta:
            return dist_lr, pair_lr

        if dist_l < dist_r:
            return dist_l, pair_l

        return dist_r, pair_r

    px = sorted(points)  
    py = sorted(points, key=lambda x: x[1])

    return _closest_pair(px, py)

总结

最接近点对问题是计算几何学中重要问题之一，分而治之算法是解决该问题的比较优秀的方法之一。该算法对点集按照X坐标从小到大排序，然后递归处理左右两部分，并通过合并解的方式来得到最终的跨越左右两部分的最近点对以及左右两部分的最短距离。通过代码实现，掌握分而治之算法的实现原理及具体步骤，将有助于对算法的理解和应用。