算法 | 分而治之 | 问题5

什么是分而治之？

分而治之（Divide and Conquer）是一种非常重要的算法设计思想，它将一个问题划分成若干个子问题，并递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来，得到原问题的解。

分而治之的应用

分而治之思想的应用非常广泛，在很多领域都有应用，比如排序、图形学、计算几何、字符串匹配等。分而治之算法的典型例子有归并排序、快速排序和二分查找等。

问题描述

现有一个数列，要求我们求取其中的一个局部最小值。局部最小值是指一个数列中的一个元素，它小于相邻元素的值。假设数列中的元素都是互不相同的。

解题思路

因为局部最小值定义只需要小于相邻元素，所以我们可以考虑二分的方法来做：

首先求出数列的中间元素 mid，将 mid 与相邻的两个元素比较，如果小于它们，那么 mid 就是一个局部最小值，直接返回即可。

否则，如果 mid 的左边元素比 mid 大，那么左半边一定存在局部最小值，我们在左半边递归地求解。

反之，如果 mid 的右边元素比 mid 大，那么右半边一定存在局部最小值，我们在右半边递归地求解。

因为每次递归都会将问题的规模减半，所以总时间复杂度为 $O(\log n)$。

代码实现

def local_minimum(nums, left, right):
    """
    求解局部最小值
    :param nums: 数列
    :param left: 数列左端点
    :param right: 数列右端点
    :return: 局部最小值
    """
    if left == right:
        # 数列中只有一个元素，它就是局部最小值
        return nums[left]

    mid = (left + right) // 2
    if nums[mid] < nums[mid - 1] and nums[mid] < nums[mid + 1]:
        # mid 是局部最小值
        return nums[mid]
    elif nums[mid] >= nums[mid - 1]:
        # 左半边存在局部最小值
        return local_minimum(nums, left, mid - 1)
    else:
        # 右半边存在局部最小值
        return local_minimum(nums, mid + 1, right)