Puzzle-59 | 抓小偷

本题是一道典型的求解最短路的问题，假设有一个城市的地图，地图上标记了若干个位置，每个位置的编号为 $1,2,\dots,n$，其中编号为 $1$ 的位置是警局，编号为 $n$ 的位置是小偷的藏身之处。每个位置都有一些通往其他位置的小路，每条小路的长度为 $1$（见下图）。

警察需要通过某个程序，找到一条从警局（$1$号位置）出发，到达小偷的藏身之处（$n$号位置）的路径，这条路径上包含的边数必须不超过 $k$ 条，求这样的路径的最短长度。

为了求解这个问题，我们可以运用广度优先搜索（BFS）算法，设 $dis_i$ 表示从 $1$ 号位置到 $i$ 号位置的最短距离，那么有以下的转移方法：

从 $1$ 号位置开始搜索，将所有与编号为 $1$ 的位置相邻的位置（即与 $1$ 号位置之间有一条边相连的位置）加入队列中，同时把这些点的 $dis$ 的值附为 $1$。

每次从队列中取出一个点 $u$，找出所有与 $u$ 相邻的没被搜索过的位置 $v$，把它的 $dis_v$ 赋为 $dis_u+1$，然后把 $v$ 加入队列中。

当队列为空时，搜索结束，此时 $dis_n$ 的值即为 $1$ 号位置到 $n$ 号位置的最短距离。

代码展示如下：

def bfs(n:int, k:int, graph:List[List[int]]) -> int:
    # 初始时所有点的距离赋为 -1，表示未被访问
    dis = [-1] * n
    # 开始位置为 1 号点，距离为 0
    q = deque([(1, 0)])
    # 记录已经访问过的点（避免重复访问）
    visited = [False] * n
    visited[0] = True  # 1 号点已经被访问过了，无需再访问

    while q:
        u, u_dis = q.popleft()
        # 如果 u 到 n 的距离已经超过了 k，显然不符合题意，直接跳过
        if u_dis > k:
            break
        # 如果 u 为 n 号点，且当前距离不大于 k，说明找到了一条路径，直接返回该路径长度
        if u == n:
            return u_dis
        # 找出与 u 相邻的未被访问的点，加入队列中
        for v in graph[u-1]:
            if not visited[v-1]:
                visited[v-1] = True
                q.append((v, u_dis+1))
    # 如果搜索结束时还没有找到合法路径，则无解，返回 -1
    return -1

以上是求解本题的核心算法，完整的 Python 代码如下：

from typing import List
from collections import deque

def bfs(n:int, k:int, graph:List[List[int]]) -> int:
    # 初始时所有点的距离赋为 -1，表示未被访问
    dis = [-1] * n
    # 开始位置为 1 号点，距离为 0
    q = deque([(1, 0)])
    # 记录已经访问过的点（避免重复访问）
    visited = [False] * n
    visited[0] = True  # 1 号点已经被访问过了，无需再访问

    while q:
        u, u_dis = q.popleft()
        # 如果 u 到 n 的距离已经超过了 k，显然不符合题意，直接跳过
        if u_dis > k:
            break
        # 如果 u 为 n 号点，且当前距离不大于 k，说明找到了一条路径，直接返回该路径长度
        if u == n:
            return u_dis
        # 找出与 u 相邻的未被访问的点，加入队列中
        for v in graph[u-1]:
            if not visited[v-1]:
                visited[v-1] = True
                q.append((v, u_dis+1))
    # 如果搜索结束时还没有找到合法路径，则无解，返回 -1
    return -1

def main():
    n, k = map(int, input().split())
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        nodes = list(map(int, input().split()))[1:]
        graph[i].extend(nodes)

    print(bfs(n, k, graph))

if __name__ == '__main__':
    main()

以上代码中，bfs 函数是最短路算法的实现，main 函数则是读入数据并输出结果的核心逻辑。在输入数据时，我们需要把图存储为邻接表的形式，以便在 BFS 中快速地找到一个节点的相邻节点。