倾斜堆介绍

什么是倾斜堆

倾斜堆（Skew Heap）是一种二叉堆（Binary Heap）的变种。倾斜堆中，每个节点最多有一个子节点不为空，因此它的形状可以看作是一棵高度不超过$logn$的斜树。

倾斜堆具有平衡性较弱的特点，但由于其构建和调整操作简单，效率较高，被广泛应用于各种算法和数据结构中。

倾斜堆的性质

• 一棵倾斜堆 $T$ 满足任意一棵子树 $T'$ 的每个节点 $x$ 的关键字（Key）均不大于 $x$ 的父节点的关键字。
• 倾斜堆中，左右儿子的高度差不能超过 $1$，因此其高度不超过 $logn$。

倾斜堆的操作

构建

倾斜堆的构建较为简单，只需将每个节点看作一棵单节点的倾斜堆，然后依次做合并操作即可。合并操作会将两个堆 $S$ 和 $T$ 合并成一个新堆 $H$，并保证 $S$ 和 $T$ 的关键字仍然满足倾斜堆的性质。

struct SkewHeap {
    SkewHeap *l, *r;
    int key;

    SkewHeap(int k): key(k), l(NULL), r(NULL) {}
};

SkewHeap* merge(SkewHeap* h1, SkewHeap* h2) {
    if (!h1) return h2;
    if (!h2) return h1;
    if (h1->key > h2->key) swap(h1, h2);
    h1->r = merge(h1->r, h2);
    swap(h1->l, h1->r);
    return h1;
}

SkewHeap* build(vector<int> &a) {
    SkewHeap* h = NULL;
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        h = merge(h, new SkewHeap(a[i]));
    }
    return h;
}

插入

倾斜堆的插入操作和构建类似，只需将待插入节点看作一个单节点的倾斜堆，然后与原堆合并即可。

void insert(SkewHeap*& h, int x) {
    h = merge(h, new SkewHeap(x));
}

弹出堆顶元素

倾斜堆弹出堆顶元素的操作同样简单，只需将其左右子树合并即可。

int pop(SkewHeap*& h) {
    int key = h->key;
    SkewHeap* l = h->l;
    SkewHeap* r = h->r;
    delete h;
    h = merge(l, r);
    return key;
}

倾斜堆的应用

• Dijkstra算法中的优先队列。
• 堆排序的实现。
• 合并多个有序序列的算法。
• 费用流算法中的路径优化。

总结

倾斜堆是一种高效的二叉堆变种，具有构建和调整操作简单的优点，被广泛应用于各种算法和数据结构中。虽然其平衡性较弱，但在很多场合下，可以满足我们的需求。