从给定矩阵的左上到右下最大化乘积的尾随零

问题描述

给定一个 $m\times n$ 的矩阵，其中每个元素均为正整数。从矩阵的左上角出发，到右下角结束，一共经过 $m+n-1$ 个格子。在这个路径上，我们需要选择一些格子，使得他们的乘积尽可能的大，并且该乘积的末尾有尽可能多的 0。

问题分析

该问题可以使用动态规划来解决。

我们先不考虑末尾的 0，只考虑乘积大小。我们可以设 $f(i,j)$ 为从起点走到 $(i,j)$ 位置的最大乘积。则有：

$$f(i,j) = \max{{f(i-1,j),f(i,j-1)}} \times a_{i,j}$$

其中 $a_{i,j}$ 表示矩阵中 $(i,j)$ 位置的数字。

接下来我们需要考虑如何计算末尾的 0。

我们知道，一个数的末尾有 $k$ 个 0，当且仅当它可以表示为 $10^k$ 的倍数。因此，我们可以把一个数表示成 $2$ 和 $5$ 的乘积的形式，因为 $10^k$ 可以表示为 $2^k\times 5^k$。所以我们可以统计每个数字中包含 $2$ 和 $5$ 的个数，然后把它们相加得到总共的 $2$ 和 $5$ 的个数，取其中较小的一个即为末尾的 0 的个数。我们设 $g(i,j)$ 表示从起点走到 $(i,j)$ 位置末尾的 0 的个数，则有：

$$g(i,j) = \min{{g(i-1,j),g(i,j-1)}} + c_{i,j}$$

其中 $c_{i,j}$ 表示矩阵中 $(i,j)$ 位置的数字中包含 $2$ 和 $5$ 的个数。如果一个数字中存在多个 $2$ 或多个 $5$，则 $c_{i,j}$ 取较小的那个。

最终的答案即为 $f(m,n)$ 和 $g(m,n)$ 中的最小值。即：

$$ans = \min{{f(m,n),g(m,n)}}$$

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(mn\log_2{\max{{a_{i,j}}}})$，其中 $\max{{a_{i,j}}}$ 为矩阵中元素的最大值。空间复杂度为 $O(mn)$。

参考代码

下面是该算法的参考代码（使用 Python3 编写）：

def max_product_and_trailing_zeros(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    f, g = [[0] * n for _ in range(m)], [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 and j == 0:
                f[i][j] = g[i][j] = matrix[i][j]
            elif i == 0:
                f[i][j] = g[i][j] = f[i][j-1] * matrix[i][j]
            elif j == 0:
                f[i][j] = g[i][j] = f[i-1][j] * matrix[i][j]
            else:
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]) * matrix[i][j]
                g[i][j] = min(g[i-1][j], g[i][j-1]) + count_trailing_zeros(matrix[i][j])
    return min(f[-1][-1], g[-1][-1])

def count_trailing_zeros(x):
    cnt = 0
    while x % 10 == 0:
        cnt += 1
        x //= 10
    return cnt

其中 max_product_and_trailing_zeros(matrix) 函数接受一个 $m\times n$ 的矩阵 matrix 作为输入，返回一个整数，即从左上角到右下角的路径乘积的尾随零的最大值。

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决从给定矩阵的左上到右下最大化乘积的尾随零的问题。通过计算每个位置的最大乘积和末尾 0 的个数，我们可以得到整个路径的最小末尾 0 的个数。该算法的时间复杂度为 $O(mn\log_2{\max{{a_{i,j}}}})$，空间复杂度为 $O(mn)$。