从左上到右下的矩阵中的最大求和路径

在许多应用中，我们需要在给定矩阵中寻找最大的求和路径。这种问题可以应用在很多方面，如图像处理、自然语言处理、机器人导航等领域。

问题描述

对于给定的 m × n 的矩阵，我们要找到从 (0,0) 到 (m-1,n-1) 的路径，使得路径上的元素的和最大。路径只能向下或向右延伸。

我们可以使用动态规划算法解决这个问题。具体来说，我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 (0,0) 到 (i,j) 的最大求和路径的和。那么状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

代码实现

下面是基于 Python 的动态规划算法实现：

def maxPathSum(matrix):
    # 获取矩阵的行数和列数
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    
    # 初始化 dp 矩阵
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    
    # 计算 dp 矩阵中的值
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]
    
    return dp[-1][-1]

测试样例

我们来验证一下上述算法的正确性。假设给定的矩阵为：

[
 [1, 3, 1],
 [1, 5, 1],
 [4, 2, 1]
]

那么最大求和路径为 1 -> 3 -> 5 -> 2 -> 1，总和为 12。

我们可以用以下代码来测试上述算法：

matrix = [
 [1, 3, 1],
 [1, 5, 1],
 [4, 2, 1]
]
print(maxPathSum(matrix))  # 输出：12

时间复杂度

上述算法的时间复杂度为 $O(m \times n)$。因为我们需要计算出 dp 矩阵中的每一个元素。从空间复杂度的角度考虑，我们可以将 dp 矩阵的大小从 $m \times n$ 降低到 $n$，以节省空间。这样，算法的空间复杂度为 $O(n)$。