矩阵中的最大求和路径

介绍

矩阵中的最大求和路径问题是计算机科学中一个经典的问题。给定一个 n 行 m 列的矩阵，矩阵中每个元素有一个权值，求从最左上角到最右下角的一条路径，使得路径上元素的权值之和最大。

解法

1. 动态规划

动态规划是解决该问题的经典方法。设 dp(i,j) 表示从左上角走到位置 (i,j) 的最大路径和，那么其中一个状态的转移方程为：

dp(i,j) = max(dp(i-1,j), dp(i,j-1)) + value(i,j)

其中，value(i,j) 表示位置 (i,j) 的权值。因为从左上角到 (i,j) 的路径只有两种可能，一种是从上面到达 (i,j)，另一种是从左边到达 (i,j)，所以 dp(i,j) 等于两种可能路径的较大值再加上位置 (i,j) 的权值。

整个算法的时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度为 $O(nm)$。

2. 贪心算法

贪心算法虽然不如动态规划一般，但也可以用来解决该问题。我们可以从左上角开始，每次选择权值最大的邻居，以此走到最右下角。但是，这种方法并不总是能得到全局最优解。

例如，对于下面这个矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

按照贪心算法走，路径为 1 -> 4 -> 7 -> 8 -> 9，路径和为 29，但是最优路径为 1 -> 2 -> 3 -> 6 -> 9，路径和为 21。

因此，贪心算法不如动态规划算法稳定可靠，不适合解决此类问题。

总结

动态规划是解决矩阵中最大求和路径问题最常用的方法，时间复杂度为 $O(nm)$，空间复杂度也为 $O(nm)$。贪心算法虽然简单，但不总是能得到最优解。