从给定矩阵的左上角到右下角最大化乘积中的尾随零

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵，求从左上角到右下角的路径，使得路径上乘积的因子中尾随零的个数最多。

解决方案

暴力解法

我们可以通过回溯法，枚举所有从左上角到右下角的路径，并计算路径上乘积的因子中尾随零的个数。时间复杂度为 $O(2^{m+n})$，非常低效。

以下是 Python 代码片段：

def trailing_zeros(n):
    """
    计算一个数的因子中尾随零的个数
    """
    res = 0
    while n > 0 and n % 10 == 0:
        res += 1
        n = n // 10
    return res

def backtracking(matrix, i, j, product):
    if i == len(matrix) - 1 and j == len(matrix[0]) - 1:
        return trailing_zeros(product)
    if i < len(matrix) - 1 and j < len(matrix[0]) - 1:
        return max(
            backtracking(matrix, i+1, j, product*matrix[i+1][j]),
            backtracking(matrix, i, j+1, product*matrix[i][j+1])
        )
    elif i < len(matrix) - 1:
        return backtracking(matrix, i+1, j, product*matrix[i+1][j])
    else:
        return backtracking(matrix, i, j+1, product*matrix[i][j+1])

def max_trailing_zeros(matrix):
    return backtracking(matrix, 0, 0, matrix[0][0])

动态规划

我们可以通过动态规划，计算从每个位置出发到右下角的路径中乘积的因子中尾随零的个数。具体来说，我们可以用一个 $m \times n$ 的矩阵 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示从位置 $(i,j)$ 出发到右下角的路径中乘积的因子中尾随零的个数。从右下角到左上角，我们可以按照如下的转移方程更新 $dp$：

$$ dp[i][j] = \max \left{ \begin{array}{ll} dp[i+1][j] & {\rm if\ } i < m-1 \ dp[i][j+1] & {\rm if\ } j < n-1 \ \max(z(x), z(y)) & {\rm if\ } i = m-1 \text{\ and\ } j = n-1 \ \end{array} \right. $$

其中 $z(x)$ 和 $z(y)$ 分别表示从位置 $(i,j)$ 出发向下或向右的路径上乘积的因子中尾随零的个数。

以下是 Python 代码片段：

def trailing_zeros(n):
    """
    计算一个数的因子中尾随零的个数
    """
    res = 0
    while n > 0 and n % 10 == 0:
        res += 1
        n = n // 10
    return res

def max_trailing_zeros(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    z_x, z_y = trailing_zeros(matrix[-1][-1]), trailing_zeros(matrix[-1][-1])
    dp[-1][-1] = max(z_x, z_y)
    for i in range(m-2, -1, -1):
        z_x = z_x + trailing_zeros(matrix[i][-1])
        dp[i][-1] = z_x
    for j in range(n-2, -1, -1):
        z_y = z_y + trailing_zeros(matrix[-1][j])
        dp[-1][j] = z_y
    for i in range(m-2, -1, -1):
        for j in range(n-2, -1, -1):
            z_x = z_x + trailing_zeros(matrix[i][-1])
            z_y = z_y + trailing_zeros(matrix[-1][j])
            dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j+1], max(z_x, z_y))
    return dp[0][0]

参考文献

• LeetCode 3161