从0到N的数字的位差总和|套装2

简介

这个问题要求计算从0到N的所有数字的位差之和。所谓的“位差”是指相邻数字的差的绝对值。例如，对于数字123，其位差之和为|1-2|+|2-3|=1+1=2。

这个问题可能看起来很简单，但需要找到一种高效的算法来解决它，特别是对于大型数字N。

在这个套装中，我们将介绍两种不同的解决方案：一种是基于数学公式的，另一种是基于动态规划的。这两个方案都将在不同的情况下表现出色。

解决方案1：基于数学公式

这个方案基于以下数学公式：

对于n位数字，其位差总和为：

(n-1) * 10 ^ (n-2) * 45

证明如下：

对于一位数字，其位差总和为0，因为只有一个数字。

对于两位数字，其位差总和为9，因为有9对相邻数字互相减的绝对值为1。

对于三位数字，其位差总和为：

| 1-0 | + | 2-1 | + ... + | 9-8 |

• | 1-2 | + | 2-3 | + ... + | 9-8 | ...
• | 1-9 | + | 2-8 | + ... + | 9-0 |

每一对相邻数字都在位差中出现了一次，因此总和为：

45

对于四位数字，其位差总和为：

(4-1) * 10 ^ (4-2) * 45 = 495

继续这个过程，我们可以得到以下算法：

function sumOfAbsoluteDifferences(n) {
    let digits = Math.floor(Math.log10(n)) + 1;
    let sum = 0;
    for (let i = 2; i <= digits; i++) {
        sum += (i - 1) * Math.pow(10, i - 2) * 45;
    }
    for (let i = 1, j = Math.pow(10, digits - 1); i <= digits; i++, j /= 10) {
        let digit = Math.floor(n / j) % 10;
        sum += i * (digit * (digit - 1) / 2 * j + digit * (n % j + 1) + (9 - digit) * (digit + 1) / 2 * j);
    }
    return sum;
}

这个算法首先确定数字n是几位数，然后使用前面的数学公式计算前缀位数的差异和。然后，它处理每个数字的每个数字，并计算它们对总和的贡献。

这个算法的时间复杂度为O(log N)，空间复杂度为O(1)。

解决方案2：基于动态规划

这个方案基于以下动态规划方程：

对于数字n，令d为其位数，dn为其第n个数字。

令dp [i] [j]表示从0到i（不包括i）的数字中，每个数字的第j位之和的总和。

对于数字 n = d1 × 10 ^ (d-1) + d2 × 10 ^ (d-2) + ... + dn × 10 ^ 0，位差总和为：

sum = dp[d] [1] + 2dp[d] [2] + ... + (d-1)dp[d] [d-1] + (d-1)dn

我们可以使用以下代码实现这个动态规划方程：

function sumOfAbsoluteDifferences(n) {
    let digits = Math.floor(Math.log10(n)) + 1;
    let dp = Array.from({ length: digits + 1 }, () => Array.from({ length: digits }, () => 0));
    for (let i = 1; i < 10; i++) {
        dp[1][i] = i * (i - 1) / 2;
    }
    for (let i = 2, j = 10; i <= digits; i++, j *= 10) {
        for (let k = 0; k < 10; k++) {
            let digit = Math.floor(n / j) % 10;
            for (let d = 0; d < i; d++) {
                dp[i][d] += dp[i - 1][d] * 10 + k * j * (i - 1);
            }
            if (k < digit) {
                let p = 1;
                while (p <= i - 1) {
                    dp[i][p++] += j;
                }
            } else if (k === digit) {
                let p = 0;
                while (p < i - 1) {
                    dp[i][p++] += n % j + 1;
                }
                dp[i][p] += n % j + 1 + dp[i - 1][p];
            } else {
                let p = 1;
                while (p <= i - 1) {
                    dp[i][p++] += j;
                }
            }
        }
    }
    return dp[digits].reduce((a, b, i) => a + (i + 1) * b, 0);
}

这个算法首先确定数量n有几个数字。然后它用一个数组记录每个数字每个位的和。最后，它将这些数字加在一起，并返回总和。

这个算法的时间复杂度为O(log N)，空间复杂度为O(log N)。

##总结

虽然这两个算法都能在很短的时间内解决这个问题，但每个算法都有自己的优点和缺点。

数学公式的算法非常简单，但是它需要对数学公式有一定的理解。同时，它也不能处理许多相关的问题，如中间数字的位差之和，或跨越多行和列的数字的位差之和。

另一个动态规划的算法比较复杂，但是它可以解决许多相关的问题，包括上面提到的中间数字的位差之和，或跨越多行和列的数字的位差之和。

因此，你应该选择最适合你的问题和语言的算法。无论你选择哪个方案，你都可以在很短的时间内解决这个问题，并将它集成到你的程序中。