骑士的旅行问题 | 回溯1

介绍

骑士的旅行问题是一个经典的数学问题，其背景为：一个国际象棋的骑士必须从一个方格出发穿过棋盘上的每个方格仅一次而归。在国际象棋中，骑士的走法如下图所示：

具体地，骑士可以在棋盘上向如下图所示的8个方向中的任意一个方向走2格再转90度走1格。在这个问题中，我们需要寻找从某个起点出发，走遍整个棋盘，并且回到起点的一条路线。由于棋盘大小为8x8，共有64个方格，因此有很多种不同的可能路线。

这个问题可以用 Depth First Search 算法中的回溯方法来解决。

方法

回溯方法通常用于解决如下问题：

• 寻找集合内所有可能的子集
• 寻找集合内所有可能的排列组合
• 寻找问题的所有解

基本上，回溯算法通常用于解决那些需要尝试每种可能性的问题。回溯算法会从一个候选解状态开始深度遍历这个状态的所有子状态，直到找到一个解或者遍历完所有候选解。

在这个问题中，我们可以将棋盘上的所有格子作为状态，在每个状态下返回所有可以走的下一个状态，然后深度遍历这些子状态，直到找到一条路线或者遍历完所有可能的路线。

具体来说，我们可以用一个 $8 \times 8$ 的矩阵来表示棋盘，用一个数组存储当前已经访问过的状态。然后从起点开始，依次按照骑士能够走的8个方向，检查下一个状态是否合法，是否已经访问过。如果合法且未访问过，则深度遍历这个状态。

def knights_tour(n, path, u, limit):
    """回溯法：骑士的旅行问题"""
    if u == limit:
        return True
    else:
        for i in range(8):
            nextp = get_next(u, i)
            if is_legal_move(nextp, path, n):
                path[nextp // n][nextp % n] = u
                if knights_tour(n, path, nextp, limit):
                    return True
                path[nextp // n][nextp % n] = -1
    return False

总结

回溯算法是一种非常通用和强大的算法，可以解决多种问题。在实践中，回溯算法通常与剪枝算法结合使用，以提高算法效率。可以将回溯算法用于搜索、全排列、子集、组合等多种问题。在这个问题中，我们使用回溯算法来解决棋盘上的遍历问题，寻找一条路线，经过每个方格一次，并且回到起点。

该算法的时间复杂度为 $O(8^{63})$，因为骑士每走一步有8种可能的走法，总共需要走63步。实际上，这种方法对于大型棋盘基本上是不可行的。但在 $8 \times 8$ 的小型棋盘上，它可以得到非常好的效果。