求最大公约数的问题

在介绍如何查找最大 GCD 的对之前，我们先来了解一下最大公约数。

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称 GCD），指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

求解 GCD 有多种方法，比较常见的有欧几里得算法（辗转相除法）和 Stein 算法（二分求 GCD 算法）。

欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相除法）的基本思想是：用大数（被除数）除以小数（除数），如果余数为0，则之前的除数为最大公约数；如果余数不为0，则将除数作为新的大数，余数作为新的小数进行除法操作，直到余数为0为止。

欧几里得算法的代码实现可参考以下 Python 代码：

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

Stein 算法

Stein 算法（二分求 GCD 算法）是一种更高效的求 GCD 的算法，其基本思路如下：

1. 若 a 和 b 都是偶数，则 gcd(a,b) = 2 * gcd(a/2,b/2)，其中gcd()是递归函数。
2. 若 a 是偶数，b 是奇数，则 gcd(a,b) = gcd(a/2,b)。
3. 若 b 是偶数，a 是奇数，则 gcd(a,b) = gcd(a,b/2)。
4. 若 a 和 b 都是奇数，则 gcd(a,b) = gcd(|a-b|/2,min(a,b))。

Stein 算法的 Python 代码实现如下：

def gcd(a, b):
    if a == b:
        return a
    if a == 0:
        return b
    if b == 0:
        return a
    
    if a % 2 == 0:
        if b % 2 == 0:
            return 2 * gcd(a // 2, b // 2)
        else:
            return gcd(a // 2, b)
    else:
        if b % 2 == 0:
            return gcd(a, b // 2)
        else:
            return gcd(abs(a-b) // 2, min(a, b))

查找具有最大 GCD 的对

现在我们来解决题目：为 2 到 N 范围内的整数查找具有最大 GCD 的对。

我们可以直接枚举所有可能的数对，求它们的 GCD，从中找到最大的 GCD，并记录对应的数对。

下面的 Python 代码实现了这一思路：

def find_max_gcd_pair(N):
    max_gcd = -1
    max_gcd_pair = ()
    for i in range(2, N+1):
        for j in range(i+1, N+1):
            g = gcd(i, j)
            if g > max_gcd:
                max_gcd = g
                max_gcd_pair = (i, j)
    return max_gcd_pair

注意，这段代码里的 gcd() 函数就是我们上面介绍过的欧几里得算法或 Stein 算法。

经过上述算法搜索，我们就可以找到范围在 2 到 N 之间具有最大 GCD 的一对数。