最小化 K 个子集中存在的最大和最小元素之间的差异总和

问题描述

给定一个包含n个元素的集合S，将其划分为k个子集，每个子集中包含m个元素（k和m为正整数），同时要求每个子集中的元素保持原有顺序。集合S中每个元素都有一个权值w，且满足 w[1] < w[2] < ... < w[n]。

定义差异总和为：所有k个子集中存在的最大和最小元素之间的差异之和，即

$sum=\sum_{i=1}^{k} (max(S_i)-min(S_i))$

要最小化差异总和，求出划分后每个子集中元素的下标。

解题思路

该问题可以使用动态规划来解决。我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将前i个元素分成j个子集所得到的最小的差异总和。为了表示每个子集中包含m个元素，我们需要对每个dp[i][j]保存的S子集里包含的元素的最大下标进行记录，即用另一个二维数组idx，其中idx[i][j]表示在状态dp[i][j]下，S子集里包含的元素的最大下标是几。

动态转移方程为：

$dp[i][j]=min_{s=i}^{j} (dp[s-1][j-1]+(w[i]-w[s])*(i-s+1))$

其中，s表示在状态dp[i][j]下，第j个子集中最后一个元素的下标是s-1。第一个括号里的部分是前s-1个元素分成j-1个子集所得到的最小的差异总和，第二个括号表示将剩下的i-s+1个元素分成一个新的子集。

最终的结果就是在状态dp[n][k]下，S子集里包含的元素的最大下标就是idx[n][k]。

代码实现

def min_diff_sum(S, k, m):
    n = len(S)

    w = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        w[i] = S[i - 1]

    dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    idx = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = w[i] - w[1]
        idx[i][1] = i

    for j in range(2, k + 1):
        for i in range(j, n + 1):
            for s in range(j - 1, i):
                diff = (w[i] - w[s]) * (i - s + 1)
                curr_diff_sum = dp[s - 1][j - 1] + diff
                if curr_diff_sum < dp[i][j]:
                    dp[i][j] = curr_diff_sum
                    idx[i][j] = s

    subarrays = []
    i, j = n, k
    while j > 0:
        subarray = []
        for k in range(idx[i][j], i + 1):
            subarray.append(k - 1)
        subarrays.append(subarray)
        i = idx[i][j] - 1
        j -= 1

    subarrays.reverse()
    return subarrays

总结

该问题采用了动态规划的思想，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(nk)。在实际应用中，可以通过优化来提高算法效率，例如使用单调队列优化。