计算从矩阵的左上角到右下角的所有可能路径

本文介绍如何编写一个程序来计算从矩阵的左上角到右下角的所有可能路径而无需交叉对角线。

问题描述

给定一个大小为 $N \times N$ 的矩阵，矩阵中的每个元素为正整数。你从矩阵的左上角出发，每次只能向右或向下走一步，直到到达矩阵的右下角，求出所有可能的走法，并返回走过的路径。路径上的数字相加即为这条路径的长度。

解决方案

我们可以使用回溯法来解决这个问题。具体来说，我们从起点开始尝试向下或向右走一步，然后递归地继续走。如果走到终点，我们就把这条路径保存下来。如果走不通了，我们就返回上一步，尝试走其他方向。这样一直重复，直到所有可能路径都被枚举完。

下面是该算法的伪代码：

def find_all_paths(matrix, i, j, path, all_paths):
    if i == len(matrix) - 1 and j == len(matrix[0]) - 1:
        # 到达终点，将路径保存下来
        all_paths.append(path)
        return

    if i < len(matrix) - 1:
        # 向下走
        find_all_paths(matrix, i+1, j, path+[matrix[i+1][j]], all_paths)

    if j < len(matrix[0]) - 1:
        # 向右走
        find_all_paths(matrix, i, j+1, path+[matrix[i][j+1]], all_paths)

其中，matrix 是一个二维列表，包含了矩阵中的所有元素；i 和 j 分别表示当前的行和列；path 表示当前走过的路径；all_paths 包含了所有找到的路径。我们从起点 (0,0) 开始递归，初始路径为 [matrix[0][0]]，并将所有找到的路径保存在 all_paths 中。

测试代码

下面是一个简单的测试代码，用来测试上述算法的正确性。

matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9],
]

all_paths = []
find_all_paths(matrix, 0, 0, [matrix[0][0]], all_paths)
print(all_paths)

这个程序的输出应该为：

[
    [1, 2, 3, 6, 9],
    [1, 2, 5, 6, 9],
    [1, 4, 5, 6, 9],
    [1, 4, 5, 8, 9],
    [1, 4, 7, 8, 9],
]

这些数组分别表示了所有从左上角到右下角的路径。

结论

在本文中，我们介绍了如何使用回溯法来计算从矩阵的左上角到右下角的所有可能路径而无需交叉对角线。我们提供了一个简单的 Python 实现，并展示了如何测试该算法的正确性。