覆盖国际象棋棋盘所有方块的最低皇后

在国际象棋棋盘上，有一种叫做“皇后”的棋子，它可以攻击同一行、同一列和同一对角线上的所有棋子。现在要求在一个8*8的棋盘上，摆放若干个皇后，使得棋盘上的每一个方格都被至少一个皇后攻击到，问最少需要多少个皇后？

这是一个经典的“N皇后”(N-Queens)问题，只不过这一次，要求每一个方格都被覆盖到。

一个简单的思路是，枚举每一个可以放皇后的位置，然后递归地去放下一枚皇后，直到棋盘被覆盖。但是这个思路显然太过简单粗暴，效率低下，同时也没有保证得到最优解。

更好的思路是，利用回溯算法。我们可以定义一个数组，表示每一行上放置的皇后在哪一列。从第一行开始，找到一个没有被攻击到的位置，放置皇后并标记当前列已经被占用，然后进入下一行递归。如果不能放置皇后，则回溯到上一行，尝试放在下一个位置。

这样做的好处是，每下一行只需要考虑哪些列可以放置皇后，而不需要枚举所有的方案，减少了时间复杂度，同时也可以保证得到最优解。

不过，直接按照上述思路求解，只能保证国际象棋棋盘上的每个方格都被攻击到，而无法保证每个棋盘上的方格都被覆盖到。为了实现方格的完全覆盖，我们可以将国际象棋棋盘进行染色，分别染成白色和黑色，然后用两个皇后分别覆盖白色和黑色的方格。

我们可以把棋盘上的每一个方格，用二元组$(x,y)$表示，其中$x$表示该方格所在的行，$y$表示该方格所在的列。那么就可以把问题抽象为，在$(0,0)$至$(7,7)$的方格上，放置若干对皇后$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$使得覆盖了所有的方格，并且$\forall i \in [1,n],j\in[1,n],(x_i,y_i)\neq(x_j,y_j)$。其中，$n$为所求的最小皇后数量。

下面是一个Python代码的示例实现：

def queens(n, white=True, row=0, used=set(), queens=set()):
    """
    在n*n的方格上，放置若干对皇后，使得覆盖所有方格。
    white: 当前放置的皇后是否为白色。
    row: 此时正在操作的行。
    used: 当前已占用的列。
    queens: 皇后的位置列表。
    """
    if row == n:  # 当前棋盘已覆盖。
        return len(queens) // 2  # 返回所需皇后数量。

    min_queens = float("inf")  # 初始化皇后数量为正无穷。
    # 从左到右依次枚举列。
    for col in range(n):
        if col in used:  # 当前列已被占用。
            continue
        # 检查左上、右上对角线。
        conflict_diagonal = False
        for i, j in queens:
            if i+j == row+col or i-j == row-col:
                conflict_diagonal = True
                break
        if conflict_diagonal:  # 当前位置无法放置皇后。
            continue
        # 尝试放置皇后并进入下一行。
        used.add(col)  # 标记该列已被占用。
        queens.add((row, col))  # 添加当前皇后位置。
        min_queens = min(min_queens, queens(n, not white, row+1, used, queens))
        used.remove(col)  # 回溯。
        queens.remove((row, col))
    # 对于黑色和白色分别计算所需皇后数量。
    if white:
        return min_queens
    else:
        return min_queens + 1

使用时只需要调用queens(8)即可得到最小皇后数量。

以上就是本次介绍的全部内容，希望能对读者有所帮助。