计算给定长度 N 的特殊字符串的数量

什么是特殊字符串

特殊字符串是指由 '0' 和 '1' 组成的字符串，其中 '0' 和 '1' 的数量相等，并且不存在任何的前缀是 '0' 的后缀是 '1' 或者前缀是 '1' 的后缀是 '0' 的情况。

例如，"001101"、"101001"、"110000" 都是长度为 6 的特殊字符串，而 "010101"、"110011" 不是。

思路

要求给定长度为 N 的特殊字符串的数量，可以采用动态规划的思路。

设 dp[i] 表示长度为 i 的特殊字符串的数量。当 i = 2 时，特殊字符串只有 "01" 和 "10" 两种，即 dp[2] = 2。当 i > 2 时，可以将长度为 i 的特殊字符串分为两类:

1. 以 "0" 开头的特殊字符串。此时，第二个字符只能是 "1"，后面的字符必须是一个长度为 i-2 的特殊字符串，即 dp[i-2]。因此，以 "0" 开头的特殊字符串的数量是 dp[i-2]。
2. 以 "1" 开头的特殊字符串。此时，第二个字符既可以是 "0"，也可以是 "1"，但是第三个字符必须与第一个字符相同，否则不满足特殊字符串的条件。后面的字符必须是一个长度为 i-2 的特殊字符串，即 dp[i-2]。因此，以 "1" 开头的特殊字符串的数量是 dp[i-1]。

因此，长度为 i 的特殊字符串的数量为 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

代码实现

def count_special_strings(n: int) -> int:
    if n < 2:
        return 0
    elif n == 2:
        return 2
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[2] = 2
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。