分而治之|(Strassen Matrix Multiplication)

分而治之法，英文名为 Divide and Conquer，是一种很重要并且应用广泛的算法思想。这种算法的基本思想是将问题分解成许多小的问题，然后解决掉这些小的问题，最终结合这些小的问题的解得到原问题的解。在矩阵乘法中，使用 Strassen 算法可以利用这种思想来减少递归所需的次数，从而显著提高算法的效率。

什么是施特拉森矩阵乘法？

施特拉森矩阵乘法是使用分治策略进行优化的矩阵乘法算法，它可以比传统的矩阵乘法更快地计算出两个矩阵的乘积。该算法将矩阵分解成多个部分，并使用递归的方式进行计算。在计算过程中，该算法会使用一些技巧来减少运算量。

算法思路

1. 将两个矩阵 A、B 划分成四个子矩阵，即 A11、A12、A21、A22 以及 B11、B12、B21、B22。
2. 计算七个矩阵 P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7，分别为：
   • P1 = A11 * (B12 - B22)
   • P2 = (A11 + A12) * B22
   • P3 = (A21 + A22) * B11
   • P4 = A22 * (B21 - B11)
   • P5 = (A11 + A22) * (B11 + B22)
   • P6 = (A12 - A22) * (B21 + B22)
   • P7 = (A11 - A21) * (B11 + B12)
3. 计算矩阵 C11、C12、C21、C22，分别为：
   • C11 = P5 + P4 - P2 + P6
   • C12 = P1 + P2
   • C21 = P3 + P4
   • C22 = P5 + P1 - P3 - P7
4. 将计算出的四个子矩阵合并成结果矩阵 C。

时间复杂度

施特拉森矩阵乘法的时间复杂度为 O(n^log7) ≈ O(n^2.81)，相对于传统的矩阵乘法 O(n^3)，具有更高的效率。

算法实现

以下是 Python 代码实现施特拉森矩阵乘法：

def strassen(matrix1, matrix2):
    if len(matrix1) == 1:
        return [[matrix1[0][0] * matrix2[0][0]]]
    
    n = len(matrix1) // 2

    # 初始化子矩阵
    a11, a12, a21, a22 = split(matrix1)
    b11, b12, b21, b22 = split(matrix2)

    # 递归计算 P1 到 P7
    p1 = strassen(add(a11, a22), add(b11, b22))
    p2 = strassen(add(a21, a22), b11)
    p3 = strassen(a11, sub(b12, b22))
    p4 = strassen(a22, sub(b21, b11))
    p5 = strassen(add(a11, a12), b22)
    p6 = strassen(sub(a21, a11), add(b11, b12))
    p7 = strassen(sub(a12, a22), add(b21, b22))

    # 计算 C11 - C22
    c11 = add(sub(add(p5, p4), p2), p6)
    c12 = add(p1, p2)
    c21 = add(p3, p4)
    c22 = add(sub(add(p5, p1), p3), p7)

    # 合并结果
    output = merge(c11, c12, c21, c22)

    return output

def split(matrix):
    n = len(matrix) // 2
    return matrix[:n][:n], matrix[:n][n:], matrix[n:][:n], matrix[n:][n:]

def add(matrix1, matrix2):
    n = len(matrix1)
    output = [[matrix1[i][j] + matrix2[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
    return output

def sub(matrix1, matrix2):
    n = len(matrix1)
    output = [[matrix1[i][j] - matrix2[i][j] for j in range(n)] for i in range(n)]
    return output

def merge(matrix1, matrix2, matrix3, matrix4):
    n = len(matrix1)
    output = [[0] * (n * 2) for _ in range(n * 2)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            output[i][j] = matrix1[i][j]
            output[i][j+n] = matrix2[i][j]
            output[i+n][j] = matrix3[i][j]
            output[i+n][j+n] = matrix4[i][j]
    return output

总结

施特拉森矩阵乘法可以显著提高矩阵乘法的效率，并且可以应用于大型矩阵乘法运算中。该算法的思想是将问题分解成许多小的问题，然后解决掉这些小的问题，最终结合这些小的问题的解得到原问题的解。在计算过程中，使用一些技巧可以减少运算量，从而使得算法效率更高。