问题描述

给定一个长度为n的整数数组nums，将其划分为两个非空子集，使得这两个子集的元素和相等，且这个和尽可能大。如果数组不能被划分成两个元素和相等的子集，则返回0。

思路

本题可以转化为一个背包问题，即在n个物品中选取若干个物品，使它们的总价值尽可能接近总重量的一半。

具体来说，我们可以使用动态规划求解本题。

• 首先，对于任意一个位置i，我们令dp[i][j]表示在数组的前i个元素中选取若干个元素，其元素和等于j的最大值。
• 那么对于第一个子集的元素和为sum/2，则本题要求的就是dp[n][sum/2]的值。

接下来我们考虑动态规划的状态转移方程。我们可以这样想：

• 如果不选取第i个元素，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；
• 如果选取第i个元素，则dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]] + nums[i]。

设数组nums的总和为sum，则最终答案就是dp[n][sum/2]。注意，如果数组中所有元素之和不是偶数，则不能将其划分为两个元素和相等的子集。此时，答案为0。

代码实现（Java）

class Solution {
    public int findPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if (sum % 2 != 0) {
            return 0;
        }
        
        int target = sum / 2;
        int[][] dp = new int[n + 1][target + 1];
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                if (nums[i - 1] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][target];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n * target)，其中n为数组长度，target为数组元素之和的一半。

空间复杂度：O(n * target)。

总结

本题实际上就是一个0/1背包问题，只不过背包的目标不是某个固定的重量，而是数组元素之和的一半。我们可以使用动态规划求解本题，时间复杂度为O(n * target)，其中n为数组长度，target为数组元素之和的一半。