反转给定数组的子数组以最小化偶数位置的元素总数

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 nums ，你需要找到一个在满足以下条件下的连续子数组反转的最小操作次数：

• 子数组中偶数位置元素数量与奇数位置元素数量相等。
• 反转子数组中的元素时，只能进行 n 次反转操作（其中 n 为数组长度）。

解题思路

暴力解法：

• 枚举所有可能的子数组，计算其偶数位置的元素总数，统计所有符合条件的子数组以及它们的偶数位置元素总数。
• 对于这些符合条件的子数组，分别计算反转它们所需要的操作次数，找到操作次数最小的那一个。

时间复杂度为 O(n^3)，会超时。

更好的解法：

• 先算出原数组的偶数位置元素总数 evenCount 和奇数位置元素总数 oddCount。
• 枚举子数组的左端点 i（从 0 开始），那么子数组的右端点 j 可以枚举到 i + evenCount。
• 对于每一个以 i 为左端点的子数组，算出它的偶数位置元素总数 evenSum。那么这个子数组的偶数位置元素个数就是 evenSum，奇数位置元素个数就是 oddCount - evenSum。
• 对于这个子数组，反转一下偶数位置上的元素，可以把它变成一个偶数位置元素个数与奇数位置元素个数相等的子数组。反转的操作次数是 evenSum / 2。同样地，反转一下奇数位置上的元素，可以把它变成一个偶数位置元素个数与奇数位置元素个数相等的子数组。反转的操作次数是 ( oddCount - evenSum ) / 2。
• 取反转次数的较小值就是反转以 i 为左端点的子数组所需要的操作次数。枚举所有可能的左端点，取最小值。

时间复杂度 O(n)。

代码实现

def minOperations(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    evenCount = (n + 1) // 2
    oddCount = n // 2
    evenPrefixSum = [0] * (n + 1)
    for i in range(n):
        evenPrefixSum[i + 1] = evenPrefixSum[i] + (nums[i] % 2 == 0)
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        if i + evenCount > n:
            break
        evenSum = evenPrefixSum[i + evenCount] - evenPrefixSum[i]
        reverseEven = evenSum
        reverseOdd = oddCount - evenSum
        ans = min(ans, min(reverseEven, reverseOdd))
    return ans

测试示例

输入：

nums = [1,2,3,4,5,6]

输出：

2

解释：

将 nums[1: 4] 反转一下，可以得到 [1,4,3,2,5,6]，其中偶数位置上的数是 [1,3,5]，奇数位置上的数是 [4,2,6]，恰好有 3 个偶数和 3 个奇数，偶数位置上元素总数最小，为 2。