长方形内接三角形的最大面积

当给定一个长方形，如何在其内部找到一条边界为长方形边的三角形，使该三角形的面积最大？

解法

根据勾股定理，三角形的面积可以表示为 $\frac{1}{2} a b \sin{\theta}$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为两边长，$\theta$ 为夹角。对于一般三角形，我们常用海伦公式进行面积计算，但是此处三角形的两边长已知，而第三边为长方形边界，所以我们要通过极角的方法求解出最大的夹角。

我们可以将三角形的顶点设在长方形的四个顶点和四条边的中点上，每个顶点的极角就是其连线与 x 轴的角度。我们可以将角度排序，然后依次枚举相邻的两个角度，这就是我们要求解的夹角。这个夹角关于长方形中心对称，所以我们只需要考虑一半的情况即可。

假设两个极角为 $\theta_i$ 和 $\theta_j$，我们可以通过 $\frac{1}{2} R^2 (\sin{\theta_i} + \sin{\theta_j})$ 计算面积，其中 $R$ 为长方形的长和宽的一半。我们可以将所有的面积计算出来，并返回最大值作为结果。

代码示例

以下是一个 Python 实现的示例代码。该函数接收一个长方形的宽和高，返回最大面积。

import math

def max_triangle_area(width, height):
    R = math.sqrt(width ** 2 + height ** 2) / 2
    angles = []
    angles.extend([math.atan2(height, width), math.atan2(width, height)])
    for i in range(1, 5):
        x, y = width * ((i // 2) % 2), height * (i % 2)
        angles.append(math.atan2(y - height / 2, x - width / 2))
    angles.sort()
    half_area = 0
    for i, angle in enumerate(angles[:-1]):
        half_area = max(half_area, R ** 2 * (math.sin(angle) + math.sin(angles[i+1])) / 2)
    return half_area * 2

以上代码中，我们使用了 math.atan2 函数来计算极角，使用了 sort 函数对极角排序，然后使用了一个循环来计算最大的三角形面积。可以发现，以上代码的时间复杂度为 $O(1)$，因为极角数目固定为 $8$，所有的计算都是常数级别的。