矩阵旅行成本最小化

简介

本算法旨在通过给定的行更改和列更改成本，最小化矩阵中从源到目的地的旅行成本。

算法原理

1. 将行更改成本和列更改成本分别存储在两个数组中；
2. 用Floyd算法预处理出任意两个节点之间的最短路径；
3. 枚举每个起点和终点，计算出从起点到终点的最小成本，并更新答案；
4. 输出最小成本。

代码实现

def minimize_cost(matrix, row_cost, col_cost):
    n = len(matrix)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                matrix[i][j] = min(matrix[i][j], matrix[i][k] + matrix[k][j])

    cost = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            curr_cost = row_cost[i] + col_cost[j] + matrix[i][j]
            if curr_cost < cost:
                cost = curr_cost

    return cost

输入格式

输入包括以下三个参数：

1. matrix: 一个大小为 n x n 的矩阵，表示从节点i到节点j的成本；
2. row_cost: 一个大小为 n 的数组，表示从源节点到行i的成本；
3. col_cost: 一个大小为 n 的数组，表示从源节点到列j的成本；

输出格式

输出为一个数字，表示从起点到终点的最小成本。

示例

• 输入：

matrix = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]
row_cost = [10, 20, 30, 40]
col_cost = [50, 60, 70, 80]

• 输出：

80

复杂度分析

本算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 n 为矩阵的大小，由 Floyd 算法的时间复杂度决定；空间复杂度为 $O(n^2)$，由矩阵的大小决定。