通过交换成本最小化排序数组的成本

在实际应用中，我们经常需要通过对一个已排序的数组进行调整，以便在特定的限制下获得更好的性能。其中一个常见的问题是通过交换成本为 $(X + Y)$ 的任意一对元素 $(X, Y)$ 来最小化排序数组的成本。

问题描述

给定一个排序数组 $A$，数组中包含 $n$ 个元素 $A[1], A[2], ..., A[n]$，需要通过交换任意一对元素 $(i,j)$ 来最小化排序数组的成本，其中交换成本为 $A[i] + A[j]$。

解决方案

这是一个具有最优子结构和重叠子问题的问题，可以使用动态规划算法进行解决。具体来说，我们可以考虑从左到右枚举数组中的每个元素 $i$，并将其与之前的所有元素进行比较。对于每一对 $(i, j)$，我们可以计算交换成本 $A[i] + A[j]$，然后将其加到 $i-1$ 个子问题的最小成本中。最后，所有子问题的最小成本中的最小值即为问题的最终解。

为了更好地理解该算法，我们可以考虑一个具体的例子。假设有一个排序数组 $A=[1, 2, 3, 4, 5]$，交换成本为 $(X+Y)$。则我们可以依次计算出以下交换成本：

• $(A[2], A[1])$：交换成本为 $(2+1)=3$；
• $(A[3], A[1])$：交换成本为 $(3+1)=4$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(2+1)=3$ 中，得到 $(3+1+2)=6$；
• $(A[4], A[1])$：交换成本为 $(4+1)=5$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(3+1+2)=6$ 中，得到 $(4+1+6)=11$；
• $(A[5], A[1])$：交换成本为 $(5+1)=6$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(4+1+6)=11$ 中，得到 $(5+1+11)=17$；
• $(A[3], A[2])$：交换成本为 $(3+2)=5$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(2+1)=3$ 中，得到 $(3+2+3)=8$；
• $(A[4], A[2])$：交换成本为 $(4+2)=6$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(3+2+3)=8$ 中，得到 $(4+2+8)=14$；
• $(A[5], A[2])$：交换成本为 $(5+2)=7$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(4+2+8)=14$ 中，得到 $(5+2+14)=21$；
• $(A[4], A[3])$：交换成本为 $(4+3)=7$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(3+2)=5$ 中，得到 $(4+3+5)=12$；
• $(A[5], A[3])$：交换成本为 $(5+3)=8$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(4+3+5)=12$ 中，得到 $(5+3+12)=20$；
• $(A[5], A[4])$：交换成本为 $(5+4)=9$，将其加到前一个子问题的最小成本 $(4+3)=7$ 中，得到 $(5+4+7)=16$。

因此，最终的最小成本为 $16$，对应的交换方式为 $(A[4], A[3])$。

代码实现

下面是使用 Python 实现上述算法的代码片段：

def min_cost_swap(A):
    n = len(A)
    dp = [float("inf")] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            dp[i] = min(dp[i], dp[j] + A[i] + A[j])

    return dp[-1]

总结

本文介绍了如何通过交换成本为 $(X+Y)$ 的任意一对元素 $(X, Y)$ 来最小化排序数组的成本。这是一个具有最优子结构和重叠子问题的问题，可以使用动态规划算法进行解决。我们首先从左到右枚举数组中的每个元素 $i$，然后将其与之前的所有元素进行比较，对于每一对 $(i, j)$，我们可以计算交换成本 $A[i] + A[j]$，然后将其加到 $i-1$ 个子问题的最小成本中。最后，所有子问题的最小成本中的最小值即为问题的最终解。