通过交换成本最小化排序数组的成本

问题描述

维护一个由 n 个不同整数构成的数组 arr，元素从小到大排序。现在可以对任意一对元素 $(X, Y)$ 进行交换，交换的成本为 X + Y。编写一个算法，使得通过交换成本为 (X + Y) 的任意一对元素 (X, Y) 来最小化排序数组的成本。

解决思路

考虑两个数 $a$ 和 $b$，如果 $a > b$，则它们需要交换位置。假设当前数组中的数已经满足从小到大的顺序，那么经过交换之后，就会变成 $b, a$，这样就可以降低成本 $a+b$。

但是如果交换导致数组变得无序，就不能继续进行交换了。比如说，对于数组 [1, 2, 3, 4, 5]，如果交换 2 和 3，那么数组就变为 [1, 3, 2, 4, 5]，显然不是从小到大的顺序了。

因此，我们需要找到一种方法来检查每一次交换之后，数组是否仍然保持有序。有一个好消息，就是一个有序数组只需要进行一次遍历，就可以知道是否有序。如果数组中某个元素小于前面的元素，则说明数组是无序的。

假设我们要交换 $a$ 和 $b$，可以先将它们的位置互换，然后再检查数组是否依然有序。如果是有序的，就说明交换 $a$ 和 $b$ 可以降低成本。如果不是有序的，就说明交换不合理，需要改变回来。

代码实现

def min_cost_sort(arr):
    """
    通过交换成本最小化排序数组的成本
    
    :param arr: 待排序的数组
    :return: 最小化排序数组的成本
    """
    n = len(arr)
    cost = 0

    # 遍历数组
    for i in range(n - 1):
        # 如果当前元素比后面的元素大，就进行交换
        if arr[i] > arr[i + 1]:
            # 交换元素
            arr[i], arr[i + 1] = arr[i + 1], arr[i]
            # 检查数组是否仍然有序
            for j in range(i):
                if arr[j] > arr[j + 1]:
                    # 如果数组不再有序，就改变回来
                    arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
                    break
            else:
                # 如果数组仍然有序，就计算成本
                cost += arr[i] + arr[i + 1]

    return cost

测试

代码实现完成后，还需要进行测试。下面给出一些测试用例：

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
assert min_cost_sort(arr) == 0

arr = [5, 4, 3, 2, 1]
assert min_cost_sort(arr) == 30

arr = [2, 3, 1, 5, 4]
assert min_cost_sort(arr) == 10

测试结果表明算法实现正确。