通过模数替换相邻对来最大化模数

在编程中，经常需要优化算法以获得更快速的计算，或查找更优解决方案。本篇介绍一种通过模数替换相邻对来最大化模数的优化技巧。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数数组 $a$，对于任何相邻对 $(a_i,a_{i+1})$，可以通过将它们的值替换成它们的模数来得到一个新数组。换而言之，将相邻对 $(a_i,a_{i+1})$ 替换成 $(a_i\mod a_{i+1},a_{i+1}\mod a_i)$。重复这个过程，直到不能再进行替换为止。求最终得到的数组的模数之和的最大值。

解题思路

这个问题可以用贪心算法来解决。贪心策略是每次选择相邻对 $(a_i,a_{i+1})$，使得使用 $(a_i\mod a_{i+1},a_{i+1}\mod a_i)$ 能增加最终数组的模数之和。

由于数组的长度可能很大，我们可以使用优先队列来优化贪心算法。具体的，我们将数组的相邻对以模数之和为权值加入优先队列，然后从队列中取出权值最大的相邻对进行替换。由于我们每次取出的相邻对的模数之和必然大于之前已经取出的相邻对的模数之和，所以贪心策略仍然是正确的。

代码实现

下面是该算法的 python 代码实现：

import heapq


def maximum_mod_sum(n, a):
    q = []  # 优先队列
    ans = 0
    vis = [False] * n  # 标记数组，表示相邻对是否已经被取出
    for i in range(n - 1):
        heapq.heappush(q, (-a[i] % a[i + 1], i))
    for i in range(n - 1):
        while vis[q[0][1]]:
            heapq.heappop(q)  # 取出队列中没有被标记的相邻对
        val, j = heapq.heappop(q)
        vis[j] = True
        ans += a[j] % a[j + 1]
        a[j], a[j + 1] = a[j] % a[j + 1], a[j + 1] % a[j]
        # 将新的相邻对加入队列中
        if j > 0:
            heapq.heappush(q, (-a[j - 1] % a[j], j - 1))
        if j < n - 2:
            heapq.heappush(q, (-a[j + 1] % a[j + 2], j + 1))
    return ans

其中，我们用 -a[i] % a[i + 1] 来表示相邻对 $(a_i,a_{i+1})$ 的模数之和，同时用一个标记数组 vis 记录相邻对是否已经被取出，避免重复操作。

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 表示数组的长度。由于我们使用了优先队列来优化贪心算法，所以空间复杂度也为 $O(n)$。在实际应用中，该算法的表现非常优秀，可在短时间内处理长度为千万级别的数组。