最大化正方形数量

问题描述

给定一个坐标平面上的 $N$ 个点，找出这些点能够形成的最大正方形数量。

解决方案

思路

我们可以将所有点按照横坐标从小到大排列，如果横坐标相同，则按照纵坐标从小到大排列。这样我们就得到了一个按照先后顺序排列的点序列。

接下来我们可以枚举正方形的中心点，以中心点为基准，找到最远的点，计算出正方形的边长，然后检查这个正方形是否能够包含所有其它的点。

如果某个正方形能够包含所有的点，那么我们就可以将其数量加入最终的答案中。

步骤

1. 将所有点按照先后顺序排列，得到一个点序列。

   points_sorted = sorted(points)
   

2. 枚举正方形的中心点，并计算出正方形的边长。如果边长可以被 2 整除，那么检查这个正方形是否能够包含所有的点。

   ans = 0
   for i in range(N):
       for j in range(i + 1, N):
           mid = ((points_sorted[i][0] + points_sorted[j][0]), (points_sorted[i][1] + points_sorted[j][1]))
           for k in range(N):
               dx = mid[0] - points_sorted[k][0]
               dy = mid[1] - points_sorted[k][1]
               if abs(dx) % 2 == 0 and abs(dy) % 2 == 0 and dx * dx + dy * dy <= (dx // 2) * (dx // 2) + (dy // 2) * (dy // 2):
                   if all(((mid[0] - points_sorted[l][0]) // 2, (mid[1] - points_sorted[l][1]) // 2) in {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)} for l in range(N)):
                       ans += 1
   

3. 返回最终答案。

   return ans
   

实现

完整代码实现如下：

def max_squares(N, points):
    points_sorted = sorted(points)

    ans = 0
    for i in range(N):
        for j in range(i + 1, N):
            mid = ((points_sorted[i][0] + points_sorted[j][0]), (points_sorted[i][1] + points_sorted[j][1]))
            for k in range(N):
                dx = mid[0] - points_sorted[k][0]
                dy = mid[1] - points_sorted[k][1]
                if abs(dx) % 2 == 0 and abs(dy) % 2 == 0 and dx * dx + dy * dy <= (dx // 2) * (dx // 2) + (dy // 2) * (dy // 2):
                    if all(((mid[0] - points_sorted[l][0]) // 2, (mid[1] - points_sorted[l][1]) // 2) in {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)} for l in range(N)):
                        ans += 1

    return ans

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(N^3)$。