将已排序的数组分成 K 个部分，每个部分的最大和最小差值之和最小

问题描述

给定一个已排序的数组 nums，将其分成 K 个部分，每个部分的大小可以不相同。定义每个部分的最大值与最小值的差值为该部分的最大和最小差值。请你编写一个算法，计算数组 nums 分成 K 个部分后，每个部分最大和最小差值之和的最小值，并返回最小值。

解决方案

通过贪心算法可以解决这道题目，我们需要找到一个合适的点将数组分割成 K 个部分，使得每个部分的最大和最小差值之和最小。

我们可以先假设一个最大和最小差值之和的最小值为 ans，然后找到一个点 mid，使得将数组分割成 K 个部分后每个部分的最大和最小差值之和小于等于 ans。如果找到这样的一个点，那么我们可以尝试将 mid 向左或向右移动，看是否能找到更小的 ans。

为了找到能够满足条件的 mid，我们可以使用二分查找算法。在每次查找中，我们假设当前的 mid 为数组中的某一点，然后以 mid 为分割点将数组分成若干个部分。接下来，我们计算每个部分的最大和最小差值之和，如果这个和小于等于 ans，那么说明以 mid 为分割点可以满足条件，我们尝试将 mid 向左移动。否则，说明以 mid 为分割点无法满足条件，我们尝试将 mid 向右移动。

代码实现

def minimum_max_difference_sum(nums, k):
    """
    将已排序的数组分成 K 个部分，每个部分的最大和最小差值之和最小

    :param nums: 被分割的已排序数组
    :type nums: List[int]
    :param k: 数组被分割成的部分数
    :type k: int
    :return: 每个部分最大和最小差值之和的最小值
    :rtype: int
    """

    # 首先计算出每个部分的平均长度
    avg_len = len(nums) // k

    # 计算部分的数量和剩余元素的数量
    part_count = k
    remain_count = len(nums) % k

    # 初始化二分查找的左右边界
    left, right = 0, max(nums) - min(nums)

    # 二分查找
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        parts_len = [0] * k
        i = 0
        j = 0

        # 分割数组
        while i < k and j < len(nums):
            parts_len[i] += 1
            j += 1
            if j < len(nums) and j % avg_len == 0 and (remain_count == 0 or j < (avg_len + 1) * remain_count):
                i += 1

        # 计算每个部分的最大和最小差值之和
        cur_max_min_diff_sum = 0
        for i in range(k):
            cur_nums = nums[j - parts_len[i]:j]
            cur_max_min_diff_sum += max(cur_nums) - min(cur_nums)

        if cur_max_min_diff_sum <= mid:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1

    return left

测试案例

assert minimum_max_difference_sum([0, 1, 2, 4, 8, 10], 3) == 5
assert minimum_max_difference_sum([0, 1, 2, 4, 8, 10], 4) == 4
assert minimum_max_difference_sum([0, 1, 2, 4, 8, 10], 5) == 3
assert minimum_max_difference_sum([0, 1, 2, 4, 8, 10], 6) == 2

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n \log_2 n)$，其中 $n$ 为数组的长度。在该算法中，我们进行了一次二分查找，每次计算每个部分的最大和最小差值之和的时间复杂度为 $O(n)$。因此，总时间复杂度为 $O(n \log_2 n)$。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为 $O(1)$，只使用了常量级别的额外空间。