将排序后的数组划分为 K 个部分，每个部分的最大和最小差之和最小化 – 集 2

介绍

本文将介绍如何将排序后的数组划分为 K 个部分，使得每个部分的最大和最小差之和最小化。本题属于分治算法的应用，具体思路为二分查找+贪心。

思路

我们可以二分查找最多划分出几个子数组，令上限为 $R$，下限为 $L=1$。然后对于每个 $mid = (L + R)/2$，用贪心算法来进行是否合法的判断。

具体而言，我们先将第一个元素分到第一个子数组中，然后从第二个元素开始，从左到右进行遍历。对于每一个元素，我们判断是否应该新开一个子数组，即当前元素与上一个子数组中最大值的差是否超过 $mid$。如果超过了，就将当前元素加入到下一个子数组中。最后，我们得到了一种可能的方案。

如果我们得到的方案中子数组的数量超过了 $K$，说明我们 $mid$ 取小了，应该将下限 $L$ 设为 $mid+1$；如果子数组的数量小于等于 $K$，则说明 $mid$ 取大了，应该将上限 $R$ 设为 $mid$。这样不断缩小 $[L,R]$，最终就可以得到最小的 $mid$ 了。

代码片段

下面是 Python 实现的参考代码片段。此处假设已经有了一个函数 check，它的功能是判断是否能将排序后的数组划分为不超过 $K$ 个子数组，使得每个子数组的最大和最小差不超过 $mid$。

def smallestRangeII(nums, K):
    nums.sort()
    L, R = 0, nums[-1] - nums[0]
    while L < R:
        mid = (L + R) // 2
        if check(mid, nums, K):
            R = mid
        else:
            L = mid + 1
    return L

其中，check 函数的实现需要使用贪心算法。这里可以采用双指针的方式进行遍历，代码如下：

def check(mid, nums, K):
    n = len(nums)
    l, r, cnt = 0, 0, 1
    while r < n:
        while r < n and nums[r] - nums[l] <= mid:
            r += 1
        if r == n:
            break
        cnt += 1
        if cnt > K:
            return False
        while l < r and nums[r] - nums[l] > mid:
            l += 1
    return True

总结

本文介绍了如何将排序后的数组划分为 K 个部分，使得每个部分的最大和最小差之和最小化。我们使用了分治算法的思想，采用二分查找+贪心的方式来解决问题。这个算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(1)$，非常适用于处理排序后的数组的分割问题。