GATE-CS-2009 | 第53章

简介

GATE-CS-2009是印度计算机科学和信息技术工程研究生入学考试（Graduate Aptitude Test in Engineering）的一份题目。该题目是在2009年的考试中出现的，涉及到计算机科学和信息技术领域的知识。本章节将为各位程序员介绍该题目的相关内容。

题目描述

题目描述如下：

一个有n个节点的完备二叉树（即除了叶子节点，其他所有节点都有两个子节点），每个节点上的值为它到根节点的距离（根节点的值为0）。现在，你需要设计一种数据结构来保存这个完备二叉树，并且实现以下操作：

1. getDistance(node1, node2): 给定两个节点node1和node2，计算它们之间的距离。

2. getLCA(node1, node2): 给定两个节点node1和node2，计算它们的最近公共祖先。

其中，完备二叉树需要使用数组来保存（即第一个节点在数组的下标为0的位置，第二个节点在数组的下标为1的位置，依此类推）。

题目分析

本题需要实现两个操作：计算两个节点之间的距离和计算它们的最近公共祖先。对于一般的树而言，这两个问题需要采用不同的算法来解决。但在完备二叉树中，可以使用特殊的方法来解决这两个问题。

首先，两个节点之间的距离可以通过它们的最近公共祖先来计算。因此，我们先需要实现计算最近公共祖先的操作。

在完备二叉树中，两个节点的最近公共祖先可以通过它们的下标在数组中的二进制表示来计算。例如，节点i和节点j的最近公共祖先的下标k可以通过下列公式计算得到：

k = i ^ j

其中，"^"表示按位异或运算。

计算节点之间的距离时，可以先计算出它们的最近公共祖先，然后分别计算它们到最近公共祖先的距离，再将这两个距离相加即可。

代码实现

以下是使用java语言实现完备二叉树的代码：

public class CompleteBinaryTree {
    private int[] tree;

    public CompleteBinaryTree(int[] values) {
        tree = new int[values.length];
        for (int i = 0; i < values.length; i++) {
            tree[i] = values[i];
        }
    }

    public int getDistance(int node1, int node2) {
        int lca = getLCA(node1, node2);
        return getPathLength(node1, lca) + getPathLength(node2, lca);
    }

    public int getLCA(int node1, int node2) {
        int k = node1 ^ node2;
        int lca = 0;
        while (k > 0) {
            k = k >> 1;
            lca = lca + 1;
        }
        return (1 << lca) - 1;
    }

    private int getPathLength(int start, int end) {
        int distance = 0;
        while (start != end) {
            if (start > end) {
                start = (start - 1) / 2;
                distance++;
            } else {
                end = (end - 1) / 2;
                distance++;
            }
        }
        return distance;
    }
}

注：以上代码中，tree数组保存了完备二叉树中每个节点的值，values数组为传入的节点值。

使用时，可以先创建CompleteBinaryTree对象，然后调用getDistance和getLCA方法即可。例如：

int[] values = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
CompleteBinaryTree tree = new CompleteBinaryTree(values);
int distance = tree.getDistance(1, 3); //distance=2
int lca = tree.getLCA(1, 5); //lca=1

总结

本题是计算机科学和信息技术领域的一道经典题目，涵盖了完备二叉树、二进制运算和树的最近公共祖先等知识点。对于程序员来说，掌握这些知识点可以帮助他们更好地理解和使用数据结构和算法，提高编程技能。