用索引乘积填充的给定维度矩阵的第 K 个最小元素

介绍

在数据处理中，经常需要找到给定矩阵中第K小的元素。本题中，给定一个维度为n的矩阵，矩阵的每个元素都是一个索引乘积，即matrix[i][j] = i * j。

解题思路

为了找到第K小的元素，我们可以使用二分搜索。先设置搜索的上下限，下限为矩阵最小的元素，即matrix[0][0]，上限为矩阵最大的元素，即matrix[n-1][n-1]。然后计算出mid，计算矩阵中小于等于mid的元素个数count。

具体而言，我们可以利用i行1~n-1列的乘积j，判断是否小于等于mid，以及j的最大值。如果小于等于mid，那么这一行的元素个数就是j个；否则，这一行的元素个数就是j-1个。最后把每一行得到的元素个数相加，就是小于等于mid的元素个数count。

根据count和K的比较，我们可以移动上下限，直到找到第K小的元素为止。具体而言，如果count小于K，说明第K小的元素在mid右侧，需要将下限调整为mid+1；如果count大于等于K，说明第K小的元素在mid左侧，需要将上限调整为mid。

代码示例

下面是Python代码的示例实现：

def kthSmallest(matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
    n = len(matrix)
    l, r = matrix[0][0], matrix[n-1][n-1]
    while l < r:
        mid = (l + r) // 2
        count = 0
        j = n - 1
        for i in range(n):
            while j >= 0 and matrix[i][j] > mid:
                j -= 1
            count += (j + 1)
        if count < k:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid
    return l

其中，变量l和r表示二分搜索的上下限，初始值分别为matrix[0][0]和matrix[n-1][n-1]。在二分搜索过程中，变量mid表示搜索的中点，采用 类似二分的思路，求得mid；变量count表示小于等于mid的元素个数；变量j表示在第 i 行中小于等于mid的最大列号。

在搜索过程中，如果count小于k，则说明第k小的元素在mid的右侧，我们将搜索下限调整为mid+1；否则，将搜索上限调整为mid 。最后，搜索结束后，l的值即为第k小的元素。

总结

本题是一个典型的二分搜索问题，需要根据题目要求，自己创造一个判定条件，来进行搜索。通过对行列的乘积的特殊计算，我们可以得到小于等于mid的元素个数。算法时间复杂度为O(n log r)，其中 r 是矩阵中最大的元素值。本题可通过LeetCode的测试，是一道非常典型的算法题，值得深入理解，并反复练习。