最大化具有最小元素乘积和子集大小至少为X的子集数

简介

给定一个正整数序列，要在序列中选出若干个元素组成一个子序列，使得这个子序列的大小至少为X，且子序列中元素的最小值乘积最大。求满足要求的子序列数目。

这个问题可以用数学归纳法证明。假设目前已经选出了若干十个元素组成一个子序列，并且这个子序列中最小的元素为m，则可以考虑将这个子序列划分成若干个小区间，每个小区间中都是连续的一段元素，且这些元素都大于等于m。显然，每个小区间中选取的元素个数越多，其乘积也会越大。因此，对于一个选定的m，可以对序列中所有大于等于m的元素进行分类，然后对每一类中的元素最多选取k个，其余的舍去，这样可以得到一个满足条件的子序列。接着可以对m进行枚举，将所有满足条件的子序列数相加即可得到最终答案。

实现

下面是一个C++实现的代码，其中solve函数实现了上述算法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55;

int n, X;
int a[N], cnt[N];
long long ans;

void solve(int pos, int k, int mn) {
    if (pos > n) {
        if (k >= X) ans++;
        return;
    }
    if (k + n - pos + 1 < X) return;
    if (a[pos] < mn) {
        solve(pos+1, k, mn);
    }
    else {
        for (int i = X; i <= cnt[a[pos]]; i++) {
            solve(pos+1, k+i, a[pos]);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> X;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        cnt[a[i]]++;
    }
    sort(a+1, a+1+n, greater<int>());
    solve(1, 0, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

这个问题是一个比较典型的动态规划问题，它可以通过先对序列进行排序再利用搜索来进行求解。当然，不同的问题可能会需要采用不同的解法，有时候贪心或者二分法也可以解决这种问题。