介绍

这是一道关于图的题目，涉及到图的遍历和最短路径算法。具体来说，给定一个有向无环图（DAG），每个节点代表一个任务，每个任务都有一个时间和一个价值。任务之间存在依赖关系，即一个任务只有在其依赖的任务完成后才能开始。要求在不超时的情况下完成任务并获得最大的总价值。

这道题的基本思路是先对图进行拓扑排序，然后依次遍历拓扑序列中的每个节点。在遍历某个节点时，先更新其前驱节点的最早完成时间（即最长路径），再更新自己的最早完成时间和最大价值。最后得到最后一个节点的最早完成时间即为所求的总时间，得到最后一个节点的最大价值即为所求的总价值。

思路

1. 对图进行拓扑排序

   拓扑排序可以用 Kahmam算法 实现，具体可参考 Kahman算法 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)。

2. 遍历拓扑序列中的每个节点，更新其最长路径和最大价值

   • 初始化所有节点的最早完成时间为 0，最大价值为节点本身的价值
   • 遍历一个节点时，遍历其所有前驱节点
     • 更新其前驱节点的最早完成时间（即最长路径）
     • 更新自己的最早完成时间和最大价值
   • 遍历完所有节点后，所求的总时间即为最后一个节点的最早完成时间，总价值即为最后一个节点的最大价值。

代码片段

下面是关键部分的Python代码片段，其中graph是有向无环图的邻接表表示，times是每个任务的时间，values是每个任务的价值：

def dynamic_programming(graph, times, values):
    # 拓扑排序
    sorted_nodes = topological_sort(graph)
    
    # 初始化最早完成时间和最大价值
    earliest_times = [0] * len(graph)
    max_values = values.copy()

    # 利用拓扑序列遍历每个节点
    for node in sorted_nodes:
        # 遍历前驱节点，更新最长路径
        for predecessor in graph[node]:
            earliest_times[node] = max(earliest_times[node], earliest_times[predecessor] + times[predecessor])
        
        # 更新最早完成时间和最大价值
        earliest_times[node] += times[node]
        max_values[node] += max_values[predecessor]

    # 返回最后一个节点的最早完成时间和最大价值
    return earliest_times[-1], max_values[-1]

以上是本题的思路和核心代码，可供程序员参考。