积小于 k 的子集数

在计算数学问题时，有一种情况是计算一个集合的所有子集中满足某种条件的子集数量。其中一个常见的条件是子集的积小于 k。比如说：

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 k，计算所有由 nums 中的数字组成的子集中积小于 k 的子集的数量。

这个问题可以通过枚举全部子集并判断其积是否小于 k 来解决，但是这个方法会超时，因为子集的数量是指数级别的。

解决方案

这个问题的关键在于寻找合适的状态表示和状态转移方程。我们考虑如何表示一个子集的积。假设我们有一个子集 S，可以表示成 S = {a1, a2, a3, ..., an}，那么这个子集的积就可以表示成 p(S) = a1 * a2 * a3 * ... * an。

接着考虑什么情况下一个子集 T 是符合条件的子集。根据积的定义，如果 p(T) < k，那么 T 是符合条件的子集。我们可以利用这个条件来设计状态表示和状态转移方程。

我们用 f[i][j] 表示所有由 nums 中前 i 个数字组成的子集中积小于 j 的子集的数量。根据上面的条件，我们有以下的状态转移方程：

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j/nums[i]] + ... + f[i-1][1]

这个方程的意思是从前 i-1 个数字的所有符合条件的子集中选择一个子集 S，然后考虑将第 i 个数字加入到这个子集中生成的新子集 T，并判断这个新子集 T 是否符合条件。如果符合条件，那么就把 T 加入到符合条件的子集中。

代码实现

下面是一个 Python 的代码实现，时间复杂度为 O(n*k)：

def numSubarrayProductLessThanK(self, nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        f[i][1] = 1
        for j in range(2, k+1):
            f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j//nums[i-1]]
    return sum(f[n])

总结

在计算所有子集中符合条件的子集的数量时，状态表示和状态转移方程是关键。这个问题中我们利用子集的积小于 k 的条件来设计状态表示和状态转移方程，并通过动态规划来解决问题。