使用素数分解的数的因子之和

当我们需要计算一个数的所有因子之和时，暴力枚举会导致时间复杂度太高。因此我们可以运用数论中的知识，使用素数分解来计算一个数的所有因子之和。

1. 素数分解的方法

素数分解是将一个整数表示成若干个素数之积的形式，我们用一个简单的示例来说明：

假设我们需要将整数15分解成素数之积的形式，那么我们需要进行以下步骤：

1. 用2去除15，余数为1，继续用下一个素数3去除15，余数为0。
2. 将15表示为2的若干次幂与3的若干次幂的乘积，即 $15 = 2^0 * 3^1$

2. 构造所有因子的方法

我们可以将一个数表示为若干个素数的乘积，如 $n = p_1^{k_1} * p_2^{k_2} * ... * p_m^{k_m}$，则它的所有因子可以表示为 $d = p_1^{e_1} * p_2^{e_2} * ... * p_m^{e_m}$，其中 $0 <= e_i <= k_i$。因此，我们可以遍历所有 $e_i$ 的取值，构造出所有 $d$。例如，当 $n = 15$时，它的所有因子可以表示为 $1, 3, 5, 15$。

3. 计算所有因子之和的方法

由于我们已经将一个数表示为若干个素数的乘积，因此我们可以直接根据公式计算所有因子之和。具体计算公式为：

$sum = \prod_{i=1}^m \sum_{e_i=0}^{k_i} p_i^{e_i} $

比如当 $n = 15$时，我们可以列出公式 $sum = (2^0 + 2^1)(3^0+3^1) = 1*4 = 4$，即 $15$ 的所有因子之和为4。

4. 代码示例

下面是使用 Python 实现使用素数分解的数的因子之和的示例代码：

def prime_division_and_factor_sum(n):
    factor_sum = 1
    i = 2
    while i * i <= n:
        count = 0
        while n % i == 0:
            count += 1
            n //= i
        if count > 0:
            factor_sum *= (i**(count+1)-1) // (i-1)
        i += 1
    if n > 1:
        factor_sum *= (n**2-1) // (n-1)
    return factor_sum  

该方法时间复杂度为 $O(log_2 n)$，比暴力枚举要高效得多。