门| GATE CS 2021 |套装2 |问题29

这是门(GATE)2021年计算机科学套装2的问题29，题目要求我们根据给定的信息设计一个程序来求解最短路径。

问题描述

给定一个带权无向图，节点数为$n$，边数为$m$。图的每个节点都有一个度数限制 $c_i$，表示该节点的度数不能超过$c_i$。找出从节点$1$到节点$n$的最短路径。如果没有从节点$1$到节点$n$的路径，则输出$-1$。

解决方案

这是一个典型的图论问题，可以使用Dijkstra或A*算法来解决最短路径问题。不过，由于节点有度数限制，因此我们需要使用一个特殊的数据结构来维护节点度数限制，例如二项堆或斐波那契堆。

二项堆的时间复杂度为$O(m+ n\log n)$，而斐波那契堆的时间复杂度为$O(m + n\log n)$，但斐波那契堆的常数因子要小得多。我们可以根据具体情况选择合适的数据结构。

Dijkstra算法伪代码：

Dijkstra(G, s):
    初始化访问数组和距离数组
    将起点s加入队列中
    while 队列不为空:
        从队列中取出距离最小的节点v
        对v的所有邻居u进行松弛操作
        将所有与v相邻的节点加入队列中
    返回距离数组

A*算法伪代码：

A*(G, s, t):
    初始化访问数组、距离数组和启发函数数组
    将起点s加入队列中
    while 队列不为空:
        从队列中取出估计距离最小的节点v
        如果v是终点t，则返回路径
        对v的所有邻居u进行松弛操作
        将所有与v相邻的节点加入队列中
    返回$-1$

总结

在设计图论算法时，需要特别考虑节点度数限制对算法复杂度的影响。我们可以使用二项堆或斐波那契堆等数据结构来追踪节点度数限制。当然，我们还需要根据具体情况选择合适的贪心策略或搜索算法来解决最短路径问题。