门| GATE CS 2021 |套装2 |问题7

这是GATE CS 2021年考试中的问题7，主要涉及图形理论和最短路径算法，需要对这些知识点有一定的掌握。

问题描述

给定一个无向加权图$G$和两个顶点$s$和$t$，我们要找到从$s$到$t$的最短路径，其中边权重为负数，且可能存在负权的环路。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用Dijkstra算法的变体，即 Bellman-Ford算法。该算法对于已知存在负权的环路的无向图非常适用。

Bellman-Ford算法基于动态规划的思想。首先，将$s$到$t$的最短路径的权重初始化为$+\infty$，然后将$s$的距离设置为$0$。接下来，迭代$|V|-1$次，其中$|V|$是图的顶点数。在每一次迭代中，对于每个边$(u,v)$，在当前的路径权重和$dist[u]$的基础上计算从$u$到$v$的新路径权重。如果该值小于现有的$dist[v]$，则更新$dist[v]$的值。如果在$|V|-1$次迭代之后，$dist[t]$仍然为$+\infty$，则可以判断从$s$到$t$没有路径。

下面是伪代码实现Bellman-Ford算法：

1 function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
2   // This implementation takes in a graph, represented as
3   // lists of vertices and edges, and fills two arrays
4   // (distance and predecessor) with shortest-path
5   // (less cost/distance/metric) information
6
7   // Step 1: initialize graph
8   for each vertex v in vertices:
9       if v is source then distance[v] := 0
10       else distance[v] := infinity
11       predecessor[v] := null
12
13   // Step 2: relax edges repeatedly
14   for i from 1 to size(vertices)-1:
15       for each edge (u, v) with weight w in edges:
16           if distance[u] + w < distance[v]:
17               distance[v] := distance[u] + w
18               predecessor[v] := u
19
20   // Step 3: check for negative-weight cycles
21   for each edge (u, v) with weight w in edges:
22       if distance[u] + w < distance[v]:
23           error "Graph contains a negative-weight cycle"
24
25   return distance, predecessor

时间复杂度

Bellman-Ford算法的时间复杂度为$O(|V|\cdot|E|)$，其中$|V|$是顶点数，$|E|$是边数。如果图是稠密的，即$|E| \approx |V|^2$，则算法的时间复杂度为$O(|V|^3)$。在Bellman-Ford算法中，每个边最多被松弛一次，因此总时间复杂度是$O(|V|\cdot|E|)$。

总结

本题需要使用Bellman-Ford算法求解最短路径，该算法适用于有负权的图，可以判断是否存在负权环。Bellman-Ford算法基于动态规划，时间复杂度为$O(|V|\cdot|E|)$。