最小化对的总和，在删除时将数组分成 3 个子数组

在处理数组时，有时需要将数组分成多个子数组来进行处理。这个问题涉及到将数组分成三个子数组，使其对的总和最小化。本文将介绍该问题的解决方法以及算法设计的思路。

问题描述

在删除一个长度为n的数组中的某个元素后，将其分成三个子数组，使得两两子数组中所有元素对的总和最小化。其中，子数组的元素个数可以不相等，但是每个子数组必须至少包含一个元素。

算法设计

1. 暴力枚举算法

暴力枚举算法是最简单的解决该问题的算法。该算法的时间复杂度为 O(n^3)，并不是一个好的算法。算法的基本思路是枚举子数组的划分方式，然后计算每种划分方式下的对的总和，最后找到最小的对的总和即可。

该算法的代码示例：

def min_sum_of_pairs(array):
    n = len(array)
    min_sum = float('inf')
    for i in range(1, n-1):
        for j in range(i+1, n):
            left = array[:i]
            mid = array[i:j]
            right = array[j:]
            sum_left = sum([abs(x - y) for x in left for y in left])
            sum_mid = sum([abs(x - y) for x in mid for y in mid])
            sum_right = sum([abs(x - y) for x in right for y in right])
            min_sum = min(min_sum, sum_left + sum_mid + sum_right)
    return min_sum

2. 动态规划算法

动态规划算法是一个更加高效的解决该问题的算法。该算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n^2)。算法的基本思路是利用矩阵存储每个元素对的计算结果，然后通过矩阵运算来快速计算出对的总和。

该算法的代码示例：

def min_sum_of_pairs(array):
    n = len(array)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                dp[i][j] = 0
            elif i < j:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + abs(array[j] - array[j-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + abs(array[i] - array[i-1])
    min_sum = float('inf')
    for i in range(1, n-1):
        for j in range(i+1, n):
            sum_left = dp[0][i-1]
            sum_mid = dp[i][j-1]
            sum_right = dp[j][n-1]
            min_sum = min(min_sum, sum_left + sum_mid + sum_right)
    return min_sum

3. 双指针算法

双指针算法是一个时间复杂度为 O(n) 的高效算法。该算法的基本思路是利用两个指针分别指向数组的头部和尾部，然后通过迭代计算对的总和，最后找到总和最小的划分方式即可。

该算法的代码示例：

def min_sum_of_pairs(array):
    n = len(array)
    left, right = 0, n-1
    left_sum, right_sum = 0, 0
    min_sum = float('inf')
    for i in range(n):
        if array[i] <= array[left]:
            left_sum += abs(array[i] - array[left])
            left = i
        elif array[i] >= array[right]:
            right_sum += abs(array[i] - array[right])
            right = i
        else:
            min_sum = min(min_sum, left_sum + right_sum + sum([abs(array[i] - array[j]) for j in range(left+1, right)]))
    return min_sum

总结

本文介绍了将数组分成三个子数组，使得对的总和最小化的问题，并提供了三种不同的算法：暴力枚举算法、动态规划算法和双指针算法。这三种算法具有不同的时间复杂度和实现难度，可以根据实际应用场景选择最适合的算法。