门 | GATE CS 1998 | 问题1

本题为GATE CS 1998年的题目，考察了数据结构中的图（Graph）知识。题目要求我们设计算法，判断输入的图是否为树（Tree），并做出相应的解释。

树 (Tree)

树是一种用于模拟层级关系的数据结构，其中一个节点（节点/顶点）作为根节点（Root node）, 没有父节点，而其余顶点都是根节点的子孙节点。顶点之间的连接称为边（Edge），形成了分层结构。树结构是一个递归结构，每个根节点下面都可以有子树，每个子树下面都可以有更多的子树。

特点

• 每个节点都只有一个父节点。
• 除根节点外，每个节点都有一个父节点。
• 有n个顶点的树有n-1个边。
• 不存在回路（Cycle），因为这样的话就会造成无限递归。

举个例子：

     A
   /   \
  B     C
 / \   / \
D   E F   G

在这个树上，A为根节点，B和C为A的子节点，D、E、F、G为B和C的子孙节点。这棵树有七个节点和六条边。

题目描述

现在我们来看具体的题目，题目描述如下：

给出一个无向图G的邻接矩阵(Aij)。设计一个有效的算法，判断这个图是否为树，并解释理由。

样例

输入:

0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

输入说明： 此时，对于i≠j，A[i][j] = 1，则第i个节点与第j个节点之间有一条边；若A[i][j] = 0，则两个节点之间没有边。

输出:

是一棵树

输出说明： 根据输入的邻接矩阵判断出该图是一棵树。

接下来我们来具体解释一下算法。

解题思路

要解决这个问题，我们需要用到树的两个特性：首先，对于一棵树，节点必须有且仅有一条入边；其次，任意两个节点之间只能有一条边。所以我们可以列出以下判断条件：

1. 图中的每个节点必须有且仅有一条入边（除了根节点）。
2. 图中不能存在环（Cycle）。

那么我们只需要检查图是否满足以上两个条件，就可以判断图是否为树。

判断条件一：只能有一个父节点

对于一个节点，它有且仅有一条入边，那么除了根节点，其他节点都应该只有一条入边。

判断条件二：无环

对于一个无边权重的无向图，判断是否有环可以使用深度优先搜索（DFS）。

在DFS的过程中，我们维护一个visited数组，数组中的元素表示该节点是否已经被访问过。对于当前遍历到的节点，我们必须确保这个节点不在之前已经访问过的节点中。如果遇到一个节点已经被标记为已访问，则发现一个环路。如果没有发现环路，那么我们就将当前的节点标记为已访问，然后遍历该节点的所有未访问过的相邻节点。

如果最后所有节点都被成功遍历，那么该无向图就是一个树。

伪代码

isTree(g):
    if (hasMultipleParents(g)):
        return "不是一棵树"
    visited = {}
    for n in g.nodes:
        visited[n] = False
    for n in g.nodes:
        if (not visited[n] and hasCycle(g, n, visited, None)):
            return "不是一棵树"
    return "是一棵树"  
 
hasMultipleParents(g):
    numParents = {}
    for n in g.nodes:
        numParents[n] = 0
    for n in g.nodes:
        for neighbor in n.neighbors:
            numParents[neighbor] += 1
            if (numParents[neighbor] > 1):
                return True
    return False

hasCycle(g, node, visited, parent):
    visited[node] = True
    for neighbor in node.neighbors:
        if (not visited[neighbor]):
            if hasCycle(g, neighbor, visited, node):
                return True
        elif (neighbor != parent):
            return True
    return False

总结

以上就是对于题目"门 | GATE CS 1998 | 问题1"的详细解释。本题要求我们判断一个给出的图是否为树，要想判断是否为树，就要符合树的定义和特性。具体做法就是检查每个节点是否只有一个父节点，再检查是否有环。当然，上述分析还可以继续优化，例如将dfs改为bfs等。

对于这道题来说，树其实也可以被看做是一种图，但是因为满足特定的条件，所以称之为树。学习数据结构需要多做类比，提高对算法的抽象思维，让自己能够在不同场景中快速适应。

最后，希望这篇文章对大家有所帮助。