从1到n的数字最近的和分区

简介

给定一个正整数n，将1到n的数字分为两个子集，使这两个子集的和的差值最小。

解法

这是一个经典的动态规划问题，我们可以使用类似于背包问题的思路来解决。

首先，我们需要计算出从1到n所有数字的和sum。然后，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数字是否可以组成和为j的子集。

对于第i个数字，我们有两种选择：将它放入第一个子集或者第二个子集。如果我们选择将它放入第一个子集，那么dp[i][j]为true当且仅当dp[i-1][j-i]为true；如果我们选择将它放入第二个子集，那么dp[i][j]为true当且仅当dp[i-1][j]为true。最后，只需要遍历dp[n][j]，找到最接近sum/2的j，就可以将1到n的数字分为两个子集了。

代码如下（使用Python语言）：

def partition(n):
    total_sum = sum(range(n+1))
    target_sum = total_sum // 2
    dp = [[False for _ in range(target_sum+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = True
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, target_sum+1):
            if j >= i:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-i]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    for j in range(target_sum, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            return (total_sum - j) - j

性能

时间复杂度：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(n^2)$

参考资料

• Partition a set into two subsets such that the difference of subset sums is minimum