重新安排子字符串以将字符串转换为平衡括号序列的成本降至最低

背景

在程序员的日常工作中，我们经常需要处理关于括号的问题。例如，括号匹配、括号序列转换、括号表达式计算等等。本文将要探讨的问题是如何通过重新安排子字符串的方式，将字符串转换为平衡括号序列，并且使得转换的成本最低。

问题描述

给定一个由 '(' 和 ')' 构成的字符串，我们希望通过重新安排字符串中的部分子串，使得整个字符串变为平衡的括号序列，并且使得此过程的成本最低。其中，成本指的是重新安排后需要插入的字符数量。

例如，对于字符串 "(()))"，可以通过将子串 "))" 转换为 "(("，得到平衡括号序列 "()()()"，此时需要插入的字符数量为 2，即将 "))" 转换为 "((" 时需要插入 2 个字符。

思路分析

对于这个问题，我们可以使用贪心算法进行求解。具体地，我们遍历字符串，将左括号 '(' 累计到一个计数器中，将右括号 ')' 累计到另一个计数器中。每次遍历到一个新字符时，我们判断两个计数器的差值，如果左括号的数量比右括号的数量多，说明此时出现了不匹配的情况，因此我们需要将一个右括号转换为左括号。

优先将当前位置或者紧邻的位置上的右括号转换为左括号，可以尽可能地减少转换的成本。因此我们可以使用一个栈来保存每个右括号出现的位置，然后按照位置的从小到大的顺序进行转换。

至于如何判断转换后的括号序列是否合法，我们可以维护一个计数器，对于每个 '('，将计数器加 1，对于每个 ')'，将计数器减 1，如果计数器小于 0，说明存在不匹配的情况。如果在遍历完整个字符串之后计数器不为 0，说明整个括号序列也不合法。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现贪心算法的代码片段：

def minimize_cost(s: str) -> int:
    stack = []
    cost = 0
    lcnt, rcnt = 0, 0
    for i in range(len(s)):
        if s[i] == '(':
            lcnt += 1
        else:
            rcnt += 1
            if lcnt < rcnt:
                stack.append(i)
                rcnt -= 1
                cost += 1

    lcnt, rcnt = 0, 0
    for i in range(len(s) - 1, -1, -1):
        if s[i] == '(':
            lcnt += 1
            if rcnt > lcnt:
                if not stack:
                    return -1
                j = stack.pop()
                cost += 1
                lcnt += 1
                rcnt -= 1
                s = s[:j] + '(' + s[j+1:i] + ')' + s[i+1:]
        else:
            rcnt += 1

    if lcnt != rcnt:
        return -1

    return cost

总结

本文介绍了如何通过重新安排子字符串将字符串转换为平衡括号序列，并且使得转换的成本最低。我们通过贪心算法，优先将位置靠前的右括号转换为左括号，从而将成本最小化。同时，我们需要维护一个栈和一个计数器来判断括号序列的合法性。