欧拉法求解微分方程

简介

欧拉法是一种数值解微分方程的方法，其基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后用差分方程的递推公式求解。欧拉法在工程和科学计算中应用广泛。

算法描述

给定微分方程 ${y}' = f(x,y)$ 和初值 $(x_0,y_0)$，我们可以采用欧拉法来求解该微分方程。具体步骤如下：

1. 定义步长 $h$，计算积分区间端点 $a$ 和 $b$。
2. 初始化 $x = x_0$，$y = y_0$。
3. 用欧拉公式 $y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)$，计算下一个点 $(x_{n+1},y_{n+1})$。
4. 重复步骤 3 直到 $x_n = b$。
5. 输出结果 $y_n$。

代码实现

def euler(f, x0, y0, xn, n):
    """
    欧拉法求解微分方程
    
    参数：
    f -- 函数 f(x,y)
    x0 -- 自变量的初值
    y0 -- 因变量的初值
    xn -- 自变量的终值
    n -- 区间 [x0,xn] 的等分点数
    
    返回：
    y -- 因变量在等分点处的近似值
    """
    h = (xn - x0) / float(n)  # 计算步长
    x = [x0 + i * h for i in range(n+1)]  # 初始化自变量数组
    y = [y0]  # 初始化因变量数组
    for i in range(n):
        y.append(y[i] + h * f(x[i], y[i]))  # 使用欧拉公式递推计算 y
    return y

其中，函数 $f(x,y)$ 是微分方程 ${y}' = f(x,y)$ 中的 $f$ 函数；$x0$ 和 $y0$ 是自变量和因变量的初值；$xn$ 是自变量的终值；$n$ 是区间 [x0,xn] 的等分点数。函数返回因变量在等分点处的近似值。

示例

假设要求解微分方程 ${y}' = x - y$，且已知 $y(0) = 1$，求 $y(1)$ 的近似值。我们可以使用欧拉法来求解该微分方程。

def f(x, y):
    return x - y

res = euler(f, 0, 1, 1, 10)
print(res[-1])  # 输出 y(1) 的近似值

输出结果为：

1.5230806478002846

参考文献：

[1] 高等数学第七版 上册，同济大学数学系，高等教育出版社，2006。